Rational Covariance Extension, Multivariate Spectral Estimation, and Related Moment Problems: Further Results and Applications

Questa tesi riguarda il problema della stima spettrale soggetta a vincoli sui momenti. La sua controparte scalare e' ben conosciuta sotto il nome di estensione razionale delle covarianze ed e' stata ampiamente studiata negli ultimi decenni. Il classico problema di estensione delle covarianze puo' essere riformulato come un roblema dei momenti trigonometrici troncato, che in generale ammette infinite soluzioni. Al fine di ottenere positivita' e azionalita', in letteratura e' stata sfruttata l'ottimizzazione con funzionali ntropici per selezionare una soluzione con una struttura degli zeri fissa. Cosi' gli zeri spettrali fungono da grado di liberta' addizionale e permettono di ottenere una parametrizzazione completa delle soluzioni razionali con grado limitato. Nuovi risultati teorici e numerici sono forniti in questa branca della teoria dei sistemi e del controllo e sono riassunti di seguito. Innanzitutto si propone un nuovo algoritmo per il problema scalare dell'estensione delle covarianze formulato in termini di modelli ARMA periodici e se ne dimostra la convergenza locale. L'algoritmo e' esteso formalmente ai processi vettoriali e applicato ai problemi di approssimazione dei modelli a intervallo finito e di livellamento. In secondo luogo viene stabilito un risultato di esistenza generale per un problema di stima spettrale multivariata formulato in modo parametrico. Si fanno anche sforzi per attaccare la difficile questione dell'unicita' e si ottengono alcuni risultati preliminari. Inoltre, in un caso speciale e' studiata a fondo la buona posizione del problema, in base alla quale e' sviluppato un risolutore a continuazione numerica con convergenza dimostrabile. Per di piu', si dimostra che la soluzione al problema della stima spettrale in generale non e' unica in un'altra famiglia parametrica di spettri razionali proposta in letteratura. In terzo luogo, il problema del deblurring delle immagini e' formulato e risolto nel quadro della teoria multidimensionale dei momenti con una regolarizzazione a penalita' quadratica.