Measures of Risk: valuation and capital adequacy in illiquid markets, and systemic risk

In this thesis, we study pricing and risk measures in markets with frictions, and systemic risk measures. All along the thesis, we focus on uniperiodal market models. In the first chapter, we consider a model with convex transaction costs at initial time, convex portfolio constraints and convex acceptance set that reflects the preferences of an agent who acts as a buyer in the market. We define the set of market consistent prices for every conceivable payoff, where consistent is meant with respect to the market and the preferences of the buyer. We show that the supremum of this set coincides with the well-known superreplication price, this giving to this functional an interpretation that goes beyond the classical hedging explanation. We develop an extension of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in a context where arbitrages are replaced by acceptable deals (i.e. the positive cone is replaced by the acceptance set) and prices are not linear. This allows to characterize, under suitable assumptions, the set of market consistent prices of any payoff. In the second chapter, we consider an abstract economy with transaction costs both at initial time and at maturity, and portfolio constraints. We do not assume convexity a priori, tough some results hold only under convexity assumptions. An external regulator fixes the acceptance set, that is the set of possible agent's capital positions that he deems acceptable from a risk perspective. We define capital adequacy rules that generalize the coherent risk measures of Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999) in that they represent the minimum amount that the agent has to invest in the market in order to reach the acceptability requirements. The chapter aims to study the properties of these generalized risk measures. In particular, we establish conditions on the portfolios ensuring that they are lower semicontinuous, and we compare these conditions with no-acceptable deal type assumptions. In convex and quasi convex case, we also provide a dual representation of the functionals of interest. In the third chapter we establish dual representations of systemic risk measures. We model interactions among a finite number of institutions through an aggregation function, and we assume that a regulator fixes a set of acceptable aggregated positions. Systemic risk is estimated as the minimum amount of capital that has to be injected in the system (before or after aggregation) in order to make the aggregated position acceptable. Hence, we deal with systemic risk measures of both ``first allocate, then aggregate'' and ``first aggregate, then allocate'' type. In both cases, we provide a detailed analysis of the corresponding systemic acceptance sets and their support functions. Our general results cover some specific cases already studied in literature. The same approach delivers a simple and self-contained proof of the dual representation of utility-based risk measures for univariate positions.

In questa tesi studiamo problemi di pricing e misure di rischio in mercati con frizioni, e misure di rischio sistemico. Il contesto è quello di mercati uniperiodali. Nel primo capitolo consideriamo un modello con costi di transazione convessi all'istante iniziale, vincoli convessi sui portafogli, e insieme di accettazione convesso che riflette le preferenze di un agente che agisce da compratore sul mercato. Definiamo l'insieme dei "prezzi consistenti" per ogni possbile payoff, dove con consistenti intendiamo sia rispetto al mercato, sia rispetto alle preferenze dell'agente. Mostriamo che l'estremo superiore di questo insieme coincide con il noto prezzo di superreplicazione, e in questo modo diamo un'interpretazione a quest ultimo al di là di quella classica nei problemi di hedging. Estendiamo il Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing a un contesto dove gli "accordi accettabili" sostituiscono gli arbitraggi (cioè l'insieme di accettazione sostituisce il cono positivo), e i prezzi non sono lineari. Questo consente, sotto opportune ipotesi, di caratterizzare l'insieme dei prezzi consistenti di un payoff. Nel secondo capitolo, consideriamo un'economia astratta con costi di transazione sia all'istante iniziale sia a scadenza, e vincoli sui portafogli. Non assumiamo convessità a priori, anche se alcuni risultati valgono solo sotto opportune ipotesi di convessità. Un regolatore esterno fissa l'insieme di accettazione, cioè l'insieme delle possibili posizioni a scadenza di un agente che lui ritiene accettabili dal punto di vista della rischiosità. Definiamo requisiti di capitale che generalizzano le misure di rischio coerenti di Artzner, Delbaen, Eber e Heath (1999) in quanto rappresentano il minimo importo di capitale che l'agente deve investire sul mercato per reggiungere i requisiti di accettabilità. Il capitolo si propone di studiare le proprietà di queste misure di rischio generalizzate. In particolare, stabiliamo delle condizioni sui portafogli che assicurano che la misura di rischio sia semicontinua dal basso, e confrontiamo queste condizioni con le assunzioni del tipo "no accordi accettabili". Nel caso convesso e quasi convesso, forniamo anche una rappresentazione duale di questi funzionali. Nel terzo capitolo stabiliamo rappresentazioni duali di misure di rischio sistemico. Modelliamo le interazioni tra un numero finito di istituzioni attraverso una funzione di aggegazione, e assumiamo che un regolatore decida l'insieme di posizioni aggregate accettabili. Il rischio sistemico è misurato come il minimo quantitativo di capitale che deve essere inserito nel sistema (prima o dopo l'aggregazione) per far sì che la posizione aggregata sia accettabile. Lavoriamo dunque con misure di rischio sistemico sia del tipo "prima allocare, poi aggregare", sia "prima aggregare, poi allocare". In entrambi i casi forniamo un'analisi dettagliata del corrispondente insieme di accettazione sistemico e della sua funzione di supporto. Lo stesso approccio fornisce una semplice dimostrazione della rappresentazione duale di misure di rischio per posizioni univariate indotte da funzioni di utilità.