Solutions of minimal energy for elliptic problems

This PhD Thesis deals with the with the existence of least energy solutions and least energy nodal solutions for nonlinear elliptic problems in presence of a nonlinearity with subcritical growth. The thesis consists in three chapters. The first chapter is devoted to basic notions and results, which will be needed to prove our main results. In fact, in many problems of variational calculus, it is not sufficient to deal with the classical solutions of differential equations, but it is necessary to introduce the notion of weak solutions and to work in the so called Sobolev spaces. In the second chapter, we prove a general existence result of least energy solutions and least energy nodal ones for a particular Dirichlet problem, with a Carathéodory function. The last chapter deals with some previous results related to special cases of f. Finally, we propose some open questions concerning the global minima of the restriction on the Nehari manifold of the energy functional associated with the Dirichlet problem, when the nonlinearity is of the type $f(x; u) = \lambda |u|^{s-2} u - \mu|u|^{r-2} u$ with $s, r \in (1; 2)$ and $\lambda ; \mu> 0$.

Questa tesi di Dottorato riguarda lo studio dell'esistenza di soluzioni di minima energia e soluzioni nodali di minima energia per problemi ellittici non lineari in presenza di una nonlinearità con condizioni di crescita subcritica. La tesi è divisa in tre capitoli. Nel primo capitolo vengono richiamati nozioni e risultati di base, che saranno necessari per dimostrare i nostri risultati principali. Infatti, in molti problemi di calcolo variazionali, non è sufficiente parlare di soluzioni classiche delle equazioni differenziali, ma è necessario introdurre la nozione di soluzione debole e lavorare nei cosiddetti spazi di Sobolev. Nel secondo capitolo, proviamo un risultato generale di esistenza di soluzioni di minima energia e soluzioni nodali di minima energia per un particolare problema problema di Dirichlet, caratterizzato da una funzione di Carathéodory. L'ultimo capitolo riguarda la generalizzazione di alcuni risultati precedenti ralativi a casi speciali di f. Infini, saranno proposti alcuni problemi aperti, riguardanti la restrizione alla varietà di Nehari del funzionale dell'energia associato al problema di Dirichlet, quando la non linearità è del tipo $f(x; u) = \lambda |u|^{s-2} u - \mu|u|^{r-2} u$ con $s, r \in (1; 2)$ and $\lambda ; \mu> 0$.