Sharp Estimates for Fundamental Solutions of some degenerate Kolmogorov equations arising in Finance

La tesi è dedicata allo studio di una equazione differenziale alle derivate parziali parabolica degenere che interviene in modelli per il pricing di Opzioni asiatiche a media aritmetica in Finanza nel setting introdotto da Black, Scholes e Merton. Lo scopo del lavoro è quello di ricavare stime ottimali per la soluzione fondamentale del relativo operatore. L'interesse in questo risultato risiede nel fatto che un' espressione della soluzione fondamentale non è disponibile, mentre informazioni esplicite sul suo comportamento asintotico sono fornite nel lavoro di Tesi. Il problema di dimostrare stime ottimali dall'alto e dal basso per la soluzione fondamentale di un operatore di evoluzione del secondo ordine ha lunga storia ed è stato considerato da molti autori nello studio delle PDE's. La metodologia utilizzata coinvonlge diverse tecniche appartenenti all' Analisi Matematica, Processi stocastici e Teoria del controllo ottimo e può essere applicata a diversi problemi. In particolare, la prova del limite inferiore si basa sulla ripetuta applicazione della disuguaglianza di Harnack per soluzioni positive lungo un'opportuna catena di punti, combinata con una procedura di ottimizzazione. Tale procedura ci conduce a considerare naturalmente un problema di controllo ottimo che sarà risolto in modo esplicito. Per il limite superiore, si combinano alcuni risultati di PDE con strumenti elementari appartenenti alla teoria del controllo ottimo. In particolare, si usano risultati analoghi all' iterazione Moser e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman per la funzione valore relativo ad un pertinente problema di controllo ottimo.

The thesis is devoted to the study of a degenerate parabolic partial differential equation which arises in models for the pricing of Arithmetic Average Asian Options in Finance in the framework introduced by Black, Scholes and Merton. The aim of the work is to prove optimal estimates for the fundamental solution of the related operator. The interest in this result is in that an expression of the fundamental solution is not available, whereas explicit information on its asymptotic behaviour are provided in the work. The problem of proving upper and lower estimates for the fundamental solution of a second order partial evolution operator has long history and it has been considered by many authors in the study of PDE's. The methodology used involves several techniques belonging to the theory of Partial Differential Equations, Stochastic Processes and Optimal Control Theory, and can be applied to several different problems. In particular, the proof of the lower bound relies on the repeated application of the Harnack inequality for positive solution of along a suitable chain of points, combined with an optimization procedure. Such procedure lead us to naturally consider an optimal control problem which will be explicitly solved. For the upper bound, we combine analytical results with elementary tools belonging to Optimal Control Theory. In particular we use an analogous results to the Moser iteration and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for the value function related to a relevant optimal control problem.