Double covering di curve e duplicazione di anelli e semigruppi.

Let π: C -> C’ be a double covering of two irriducible, projective and non-singular curves of genus g and γ respectively. It is known that the Weierstrass semigroup of the C is a double of the one of the curve C’ moreover it is a γ-hyperelliptic numerical semigroup. In the first part of the thesis, we present how to construct a γ-hyperelliptic numerical semigroup from a given one of genus γ, using numerical duplication. Furthermore, we show that every γ-hyperelliptic numerical semigroup can be written as a numerical duplication of a numerical semigroup. Then, let R be a ring, Q(R) be its quotient field, b be an element of R and I be a fractional ideal of R such that bI2 is contained in R, we introduce the ring R+It whose elements are r+it such that r is an element of R and i is an element of I with the following operations: (r+it)+(s+jt)=(r+s)+(i+j)t and (r+it)(s+jt)=(rs+ijb)+(rj+si)t. We prove that if b is not a square in Q(R), R is a domain if and only if R+It is a domain. In a natural way, R+ It is an extension of R and R+ It is integral over R. let P be a prime ideal of R. Then there are two possibilities: there is only one prime lying over P, and this occurs when bI2 is contained in P; there are two different primes lying over P, when bI2 is not contained in P. Moreover, if we take Î={i ∈ Q(R) : bi2 ∈ R}, then if R is Dedekind so is R+ Î t. Let us now assume that R is Dedekind and P is a prime ideal of R. Then RP is a DVR and if Q is a prime lying over P, then (R+ Î t)Q is a DVR too. Let C be a non-singular, irreducible projective curve over a field k algebraically closed. Let P be a point of C that is a Weierstrass point for the curve. Let us consider an open affine set that contains P, CA, and R its coordinate ring. Let b be a proper element of R that is not a square in Q(R). Construct R + Ît. Assume D to be the projective closure of the affine curve associated to R + Î t and consider its smooth completion D’. Let P be a Weierstrass point for C and b Î ⊆P; we partially prove the following conjecture: the Weierstrass semigroup of C at a point Q lying over P, is a numerical duplication of the Weierstrass semigroup of D’ in P.

Sia π: C -> C’ un double covering di due curve irriducibili, proiettive e liscie di genere rispettivamente g e γ. È un fatto noto che il semigruppo di Weierstrass di C è il doppio di quello di C’ ed è γ-iperellittico. Nella prima parte della tesi, presentiamo un modo di costruire un semigruppo numerico γ-iperellittico da un semigruppo numerico dato, di genere γ, usando la duplicazione numerica. Inoltre, proviamo che ogni semigruppo numerico γ-iperellittico si può scrivere come duplicazione numerica di un altro semigruppo numerico. Nella seconda parte della tesi introduciamo la seguente costruzione di anelli: sia R un anello, Q(R) il suo campo delle frazioni, b un elemento di R e I un ideale frazionario di R tale che bI2 è contenuto in R; definiamo l’anello R+It, i cui elementi sono r+it tali che r è un elemento di R e i un elemento di I, con le operazioni: (r+it)+(s+jt)=(r+s)+(i+j)t and (r+it)(s+jt)=(rs+ijb)+(rj+si)t. Se b non è un quadrato in Q(R), allora R è un dominio se e solo se R+It è un dominio. Ovviamente R si immerge in R+ It e R+ It è un’estensione intera di R. Sia P un ideale primo di R. Possiamo distinguere due casi: il primo di R+It che si contrae in P è uno, e questo accade quando bI2 è contenuto in P; i primi che si contraggono su P sono due e distinti, e ciò accade quando bI2 non è contenuto in P. Se definiamo l’ideale frazionario Î={i ∈ Q(R) : bi2 ∈ R}, allora se R è Dedekind, lo è anche R+ Î t. Supponiamo che R sia un dominio di Dedekind e che P sia un ideale primo di R. L’anello RP è un DVR e lo è anche (R+ Î t)Q , dove Q un ideale primo di R+ Î t che si contrae in P. Sia C una curva lisca proiettiva e irriducibile su un campo k algebricamente chiuso. Sia P un punto di C che è anche un punto di Weierstrass. Consideriamo CA, un aperto affine che contiene C e chiamiamo R il suo anello delle coordinate. Sia b un elemento appositamente scelto di R che non sia un quadrato in Q(R). Dopo aver costruito R + Ît, supponiamo che D sia la chiusura proiettiva della curva associate a R + Î t e consideriamo il suo completamento liscio D. Supponiamo che b Î ⊆P. Nella parte finale della tesi proviamo parzialmente la seguente congettura: il semigruppo di Weierstrass associato alla curva C nel punto Q che si contrae su P si ottiene come duplicazione numerica del semigruppo di Weierstrass di D’ nel punto P.