de Saint Venant-Exner morphological models: computational methods for long-term numerical modelling

I modelli morfodinamici vengono utilizzati per prevedere l'evoluzione temporale del fondo dei fiumi e dei fondali vicini alla costa descrivendo le interazioni tra i sedimenti ed il flusso dell'acqua. Per l'importanza di molte applicazioni ingegneristiche che richiedono previsioni morfodinamiche, grande attenzione è stata posta allo sviluppo di metodi numerici sempre più efficienti. La morfodinamica combina due processi: la veloce evoluzione idrodinamica e e la lenta dinamica dei sedimenti. Quando il trasporto dei sedimenti è molto più lento dell'evoluzione idrodinamica (cioè il numero di Froude della corrente idraulica è lontano da valori unitari), l'interazione tra il moto dell'acqua e la risposta del fondo è molto debole. Quando si verificano queste condizioni, uno studio analitico del sistema di equazioni de Saint Venant-Exner (dSVE), monodimensionale e non conservativo, mostra che l'evoluzione morfodinamica dipende principalmente dall'onda centrale del problema di Riemann associato al sistema di equazioni. Partendo da questo studio, questa tesi di dottorato si concentra sull'utilizzo di questa particolare caratteristica per migliorare l'efficienza computazionale dei modelli morfologici. Per prima cosa è presentata un nuovo e più efficiente metodo d'implementazione del Dumbser-Osher-Toro (DOT) solutore di Riemann per problemi non conservativi. Il DOT è un solutore numerico molto robusto ma poco efficiente. E' basato sullo schema path-conservativo e fa un uso completo delle componenti del problema di Riemann associato al problema. Perciò, per il calcolo non lineare dell'evoluzione temporale del problema, richiede, ad ogni passo temporale e ad ogni interfaccia tra celle di calcolo, il calcolo completo dell'autosistema (l'insieme di autovettori e autovalori) della matrice dei flussi associata al problema. In questo studio il calcolo numerico dell'autosistema associato al modello matematico dSVE viene sostituito da una formulazione analitica e compatta, approfonditamente testata in termini di efficienza e stabilità. In secondo luogo è stata definita una formulazione matematica generale per lo studio dell'accelerazione matematica dell'evoluzione morfodinamica. Così è stata testata un'accelerazione non uniforme dei flussi relativi alle tre equazioni che compongono il sistema di dSVE, grazie all'inserimento di tre coefficienti di accelerazione (>1) che moltiplicano le derivate spaziali che compaiono rispettivamente nelle tre equazioni. Tramite questa generalizzazione una delle tecniche più utilizzate per accelerare l'evoluzione morfodinamica, il MORFAC, può essere visto come un caso particolare dell'accelerazione non uniforme. Ovvero, se si applica il MORFAC, solo le derivate spaziali della portata di sedimenti andrebbero incrementate. L'obiettivo della generalizzazione è invece cercare di capire se esiste una configurazione ottimale dei tre coefficienti di accelerazione. Tale configurazione deve rispettare due condizioni fondamentali: i) il fondo deve reagire linearmente (nel tempo) all'azione dell'idrodinamica; ii) deve prodursi il più consistente possibile risparmio computazionale. Tale combinazione è stata cercata tramite uno studio analitico del sistema accelerato ed è sfociata nella definizione di una nuova tecnica denominata MASSPEED (MASs equations SPEEDup), secondo la quale è necessario accelerare della stessa quantità entrambe le equazioni di continuità del sistema (dell'acqua e dei sedimenti). La nuova generalizzazione del problema permette inoltre di determinare a priori il massimo valore di accelerazione possibile per entrambi i due metodi studiati (MORFAC e MASSPEED). Infine, implementando questi due metodi nel modello numerico sviluppato in precedenza, per mostrare i vantaggi di questo nuovo approccio è stato effettuato un test di evoluzione a lungo termine di una duna fluviale.

Morphodynamic models are used to predict river and nearshore evolution describing the interactions between sediments and water flow. Due to the importance of many engineering applications requiring morphodynamic predictions, great attention has been devoted to the development of more efficient numerical techniques. Morphodynamics combines two processes: the faster hydrodynamic evolution and the slower sediment-dynamics. When the sediment transport is much slower than the hydrodynamic evolution (i.e. the Froude number of the water flow is far from the unity), the interaction between water flow and bed response is very weak. From an analytical study of the one-dimensional, non-conservative, de Saint Venant-Exner (dSVE) system of equations result that, under this condition, the morphodynamic evolution depends almost on the central wave of the associated Riemann problem. According to this theoretical study, this doctoral dissertation is focused on the increasing of the numerical efficiency of morphological models. First a new efficient implementation of the Dumbser-Osher-Toro (DOT) scheme for non-conservative problems is presented. The DOT path-conservative scheme is a robust upwind method based on a complete Riemann solver, but with the drawback of requiring expensive numerical computations. Indeed, to compute the non-linear time evolution in each time step, the DOT scheme requires numerical computation of the flux matrix eigenstructure (the totality of eigenvalues and eigenvectors) several times at each cell edge. In this research, an analytical and compact formulation of the eigenstructure for the dSVE model is introduced and tested in terms of numerical efficiency and stability. Second a general mathematical framework is built to study the acceleration of morphodynamic simulations. Thus, a non-uniform acceleration is applied to the one-dimensional dSVE model by multiplying all the spatial derivatives by an individual constant (>1) acceleration factor. In this framework, one of the most applied morphological acceleration techniques, the MORFAC approach, can be seen as a particular case of the non-uniform acceleration. According to the MORFAC approach only the sediment mass continuity equation is accelerated. The final goal of the non-uniform acceleration is to identify the best combination of the three accelerating factors. Such a combination must respect two points: i) the bed responds linearly to hydrodynamic changes; ii) a consistent decrease of the computational cost is obtained. An analytical investigation of the non-uniform accelerated problem allows derivation of a new linear morphodynamic acceleration technique, MASSPEED (MASs equations SPEEDup), in which both mass conservation equations (water and sediment) are accelerated by the same factor. Moreover, the new framework allows an \textit{a priori} determination of the highest possible acceleration for both MORFAC and MASSPEED techniques. Finally, MORFAC and MASSPEED are implemented in the A-DOT numerical scheme and numerical simulations of a long-term sediment hump propagation demonstrate the advantages of the new approach.