Local-Global Divisibility Problems for Elliptic Curves

In questa tesi viene data una risposta completa alla 4-divisibilita` locale-globale per curve ellittiche definite sui razionali. Viene poi presentata la famiglia delle curve ellittiche $\mathcal{E}$ tali che $\mathbb{Q}(\mathcal{E}[3])=\mathbb{Q}(\zeta_3)$, dove $\mathcal{E}[3]$ e` il sottogruppo di 3-torsione di $\mathcal{E}$ e \zeta_3 e` un radice terza dell'unita`. Per tali curve viene dimostrata anche l'esistenza di un punto razionale di ordine 3. Infine per alcune curve di questa famiglia vengono presentati dei punti che danno dei controesempi alla 9-divisibilita` locale-globale su estensioni di $\mathbb{Q}(\zeta_3)$ di grado 2.