Perturbed Hamiltonians in one dimension: analysis for linear and nonlinear Schrödinger problems

The aim of this thesis is to present some results concerning with questions related to the perturbed linear and nonlinear Schrödinger problems. The perturbation is represented by a real potential that has to satisfy some integrability decay properties. These potentials are known in literature as "short range potentials". Moreover, the perturbed Hamiltonian has neither point spectrum nor zero resonance. The investigation focuses on the following main topics: To study the sectorial properties and the spectral scenario (modes and resonances) of the perturbed Hamiltonian (Chapter 1); to study how the classical homogeneous Besov and Sobolev spaces are transformed under the action of the wave operators (Chapter 2 - 3); to study the asymptotic behaviour of the solutions of the perturbed nonlinear Schrödinger problem with a scattering critical nonlinearity and small initial data (Chapter 4). Italian (Borsa finanziata dalla Regione Toscana nell’ambito del progetto “Pegaso”): Questa tesi contiene alcuni risultati connessi al problema di Schrödinger lineare e nonlineare quando l'Hamiltoniana classica viene perturbata. La perturbazione è rappresentata da un potenziale reale che soddisfa certe ipotesi di integrabilità e decadimento. Tali potenziali in letteratura sono noti come potenziali "a corto raggio d'azione". Inoltre, si suppone che l'Hamiltioniana perturbata non ammetta spettro puntuale né risonanze. Il lavoro di ricerca può essere essenzialmente sintatizzato nei seguenti punti: L'analisi delle proprietà settoriali e dello scenario spettrale per l'Hamiltoniana perturbata (Capitolo 1); lo studio della continuità degli operatori d'onda su spazi di Besov e Sobolev omogenei (Capitolo 2 - 3); l'analisi del comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Schrödinger nonlineare perturbato con linearità critica e per dati iniziali piccoli in opportune norme di Sobolev (Capitolo 4).