A-priori estimates for some classes of elliptic problems

L'obiettivo di questa tesi è di studiare alcuni aspetti di un potente strumento ampiamente utilizzato in analisi matematica, che è rappresentato dalle stime a priori. Infatti, le stime a priori hanno un ruolo chiave nella teoria delle equazioni differenziali a derivate parziali e nel calcolo delle variazioni, perché sono intimamente legate all'esistenza di soluzione per un dato problema. Nella tesi vengono presentati tre lavori scritti durante il periodo del dottorato, in ciascuno dei quali vengono utilizzate le stime a priori. Il primo lavoro, scritto in collaborazione con il Prof. S. Mosconi, riguarda l'esistenza di soluzione per la seguente equazione differenziale ordinaria del quarto ordine (equazione di Swift-Hohenberg), $ u''''+ qu''+ F'(u)= 0$, dove $q$ è un parametro reale e $F$ è una funzione $C^2$, coerciva e quasi-convessa. Il secondo lavoro, scritto in collaborazione con il prof. P. Winkert, riguarda stime a priori per un problema ellittico in cui gli operatori hanno crescita critica, sia nel dominio che sulla frontiera. Il terzo lavoro, scritto in collaborazione con i Prof. S.A. Marano e A. Moussaoui, riguarda l'esistenza di soluzione per un sistema ellittico definito in tutto lo spazio $\R^N$, in cui le nonlinearità contengono termini singolari, cioè che possono tendere a $+\infty$ quando la variabile tende a zero.