Dynamical processes and memory effects on temporal networks

Understanding the mechanism behind the diffusion of a disease has always been a crucial problem for health and society. In particular the evaluation of the threshold above which there is an emergence of an epidemic state is one of the fundamental problems for disease control. From the mathematical point of view, many models have been formalized over the years. In particular the introduction of networks science has significantly improved both the analysis and the prediction capability of these phenomena giving more compelling results. Many of the studies in epidemics have been carried on static networks, but in the last few years the interest toward time-varying networks has rapidly grown. Despite the increased complexity from the introduction of the time variable, some models allow an analytical understanding of the spreading processes. In particular in our work we will consider the activity-driven model in which the time variable is embedded in the propensity of each individual to interact at a certain time. Social ties are also driven by the memory people have of each other, preferring old acquaintances interactions to new ones. In this work we explore the effects that the memory mechanism in a time-varying network has on a spreading process focusing on the epidemic dynamics. We focus our attention on two standard epidemic models: the susceptible-infected-susceptible (SIS) and the susceptible-infected-recovered (SIR), describing respectively diseases that don't or do confer immunity after the infection. We formulate an activity-based mean-field approach obtaining analytically the epidemic threshold as a function of the parameters describing the distribution of activities and the strength of the memory effects. In particular we consider the asymptotic regime in which the infection starts only when the people have had a sufficiently large number of connections in their social circle. In this limit the dynamical process can be seen as an activity-driven process evolving on an effective static graph. Our results show that memory amplifies the activity fluctuations reducing the threshold and enhancing the epidemic spreading in both the SIS and SIR models. To numerically prove our findings we simulate the epidemic process on both the time-evolving and the effective static networks, varying the memory parameter and the starting time of the infection. Comparing the theoretical model with the numerical simulations we confirm our predictions in the asymptotic limit. We also show that in the preasymptotic regime there are strong aging effects making the epidemic threshold deeply affected by the starting time of the outbreak. In particular, for short starting times of the infection, the correlations induced by the memory produce strong backtracking effect in both the SIS and SIR processes, lowering or increasing the epidemic threshold respectively. We discuss in detail the origin of the model-dependent preasymptotic corrections, setting the bases for potential epidemics control methods on correlated temporal networks.

Comprendere il meccanismo di diffusione di una malattia è sempre stato un problema cruciale per la sanità e la società. In particolare la valutazione della soglia oltre la quale si verifica l'insorgenza di uno stato epidemico è uno dei problemi fondamentali per il controllo della sua diffusione. Dal punto di vista matematico, molti modelli sono stati formalizzati nel corso degli anni. In particolare l'introduzione della teoria dei networks ha migliorato significativamente sia l'analisi che la capacità di previsione di questi fenomeni, dando risultati più soddisfacenti. Molti degli studi sulle epidemie sono stati condotti su reti statiche, ma negli ultimi anni l'interesse verso i temporal networks è cresciuto rapidamente. Nonostante la maggiore complessità derivante dall'introduzione della variabile temporale, alcuni modelli consentono una comprensione analitica dei processi di diffusione. In particolare nel nostro lavoro prenderemo in considerazione il modello activity-driven in cui la variabile temporale è incorporata nella propensione di ogni individuo ad interagire con gli altri in un determinato momento. I rapporti sociali sono mossi anche dalla memoria che le persone hanno l'una dell'altra, preferendo interagire con le vecchie conoscenze a quelle nuove. In questo lavoro esploriamo gli effetti che il meccanismo della memoria in network variabile nel tempo ha su un processo di diffusione concentrandoci sulla dinamica delle epidemie. In particolare consideriamo due modelli epidemici standard: il suscettibile-infetto-suscettibile (SIS) e il suscettibile-infetto-recuperato (SIR), descrivendo rispettivamente malattie che non conferiscono o non conferiscono immunità dopo l'infezione. Formuliamo un approccio activity-based mean-field ottenendo analiticamente la soglia epidemica in funzione dei parametri che descrivono la distribuzione delle attività e la forza degli effetti della memoria. In particolare consideriamo il regime asintotico in cui l'infezione inizia solo quando le persone hanno avuto un numero sufficientemente elevato di connessioni nella propria cerchia sociale. In questo limite il processo dinamico può essere visto come un processo guidato dall'attività che evolve su un effective static network. I nostri risultati mostrano che la memoria amplifica le fluttuazioni di attività riducendo la soglia e aumentando la diffusione dell'epidemia sia nel modello SIS che nel modello SIR. Per dimostrare numericamente i risultati ottenuti simuliamo il processo epidemico sia sull'effective static network che sul network temporale, variando il parametro di memoria e il tempo di primo contagio. Confrontando il modello teorico con le simulazioni numeriche confermiamo le nostre previsioni nel limite asintotico. Dimostriamo inoltre che nel regime preasintotico ci sono forti effetti di aging che rendono la soglia epidemica profondamente influenzata dal momento di inizio del contagio. In particolare, per brevi tempi di inizio dell'infezione, le correlazioni indotte dalla memoria producono un forte effetto di backtracking sia nei processi SIS che SIR, abbassando o aumentando rispettivamente la soglia epidemica. Discutiamo in dettaglio l'origine delle correzioni preasintotiche dipendenti dal modello, ponendo le basi per potenziali metodi di controllo dell'epidemie su reti temporali fortemente correlate.