Continued fractions in function fields: polynomial analogues of McMullen's and Zaremba's conjectures

The classical theory of real continued fractions has a nearly perfect analogue in the function fields setting; in particular, we will consider the polynomial analogues of two Conjectures on continued fractions with bounded partial quotients: Zaremba's Conjecture on rational numbers and McMullen's Conjecture on real quadratic irrationalities. For this purpose, we will examine the connection between the degrees of the partial quotients of a polynomial continued fraction and those of its polynomial multiples. This will allow us to give a different proof of Blackburn’s Theorem, showing that the polynomial analogue of Zaremba's Conjecture holds over infinite fields. On the other hand, when the base filed is finite, only partial results are known, mostly dues to Blackburn and Friesen. We will see that the polynomial analogue of McMullen's Conjecture holds over uncountable fields and, thanks to the theory of reduction of a continued fraction modulo a prime, over the algebraic closure of Q. The same method can be adapted for number fields but in this case it requires a Theorem of Zannier, based on the fact that polynomial multiples of the square root of a polynomial are linked to generalized Jacobians of hyperelliptic curves. Adapting to the polynomial setting a result of Mercat we will show that the polynomial analogue of McMullen’s Conjecture is a consequence of the polynomial analogue of Zaremba’s Conjecture if the polynomial Pell equation has non-trivial solutions; this will also imply that the polynomial analogue of McMullen’s Conjecture holds over every infinite algebraic extension of a finite field. Italian (Borsa finanziata dalla Regione Toscana nell’ambito del progetto “Pegaso”): La classica teoria delle frazioni continue reali ha un analogo quasi perfetto per campi di funzioni; in particolare, considereremo gli analoghi polinomiali di due congetture sulle frazioni continue con quozienti parziali limitati: la congettura di Zaremba sui numeri razionali e la congettura di McMullen sugli irrazionali quadratici reali. Per questo scopo esamineremo il legame fra i gradi dei quozienti parziali di una frazione continua polinomiale e quelli dei suoi multipli polinomiali. Ciò permette di dare una nuova dimostrazione del Teorema di Blackburn, mostrando che su campi infiniti vale l’analogo polinomiale della congettura di Zaremba. D’altra parte, se il campo base è finito, sono noti solo risultati parziali, dovuti soprattutto a Blackburn e Friesen. Vedremo che l’analogo polinomiale della Congettura di McMullen vale su campi non numerabili e, grazie alla teoria di riduzione di una frazione continua modulo un primo, sulla chiusura algebrica di Q. Lo stesso metodo può essere adattato al caso di campi di numeri, ma in questo caso richiede l’uso di un Teorema di Zannier basato sul fatto che i multipli polinomiali della radice quadrata di un polinomio sono collegati con Jacobiane generalizzate di curve iperellittiche. Adattando al caso polinomiale un risultato di Mercat proveremo che l’analogo polinomiale della congettura di McMullen segue dall’analogo polinomiale della congettura di Zaremba purché l’analogo dell’equazione di Pell abbia soluzioni non banali. Ciò implica anche che l’analogo polinomiale della congettura di McMullen vale su ogni estensione algebrica infinita di un campo finito.