Rang de l'image du groupe des unites; conjecture de Bremner

Nella nostra tesi ci interessiamo a tre problemi distinti: la caratterizzazione di alcune famiglie di campi di numeri introdotte da F. Amoroso (PCM), la generalizzazione di un articolo di I. Ga\’al e L. Robertson sulla congettura di Bremner e lo studio delle proprietà di una particolare famiglia di unità (le unità ipereccezionali). Più precisamente nel primo capitolo dimostriamo che nessuna famiglia di campi totalmente reali è una miglia di campi $ PCM $; forniamo inoltre due criteri che permettono di stabilire se una famiglia di campi totalmente immaginari è una famiglia di campi $PCM$. Sia $q$ una potenza di un numero primo $p \geq 2$. Sia $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_q]$ tale che $\mathbb{Z}[\alpha] = \mathbb{Z}[\zeta_q]$. Nel secondo capitolo dimostriamo che esiste un intero $k$ tale che o $\alpha + k$ è una radice dell’unità o $\alpha + k$ è sulla retta $Re(z) = 1 / 2$ sul piano complesso. Infine, nel terzo capitolo, introduciamo la nozione di unità ipereccezionale e studiamo le proprietà di queste unità. In particolare mostriamo le loro relazioni con le successioni eccezionali. Inoltre costruiamo vari esempi di campi contenenti unità ipereccezionali.