Studio di modelli efficaci per la Cromodinamica quantistica per mezzo del Gruppo di rinormalizzazione funzionale

In this thesis we focus on the application of the nonperturbative Functional Renormalization Group (FRG), to study the critical behavior of effective field theories, with the ultimate goal of understanding the critical properties of Quantum Chromodynamics (QCD) and in particular of the chiral phase transition. We provided a general introduction to QCD and to the Renormalization Group, and then discussed the effective average action formalism and the Wetterich equation. Due to the functional nature of the FRG approach and of the Wetterich equation, an ansatz for the effective action is generally needed. In this work we choose to adopt the local-potential approximation (LPA), where one stops at zeroth order in the expansion in derivative operators of the quantum effective action, including only the quantum effective potential. The key idea used in this work lies in the observation that the FRG flow equation in the LPA can be cast, for specific models and truncation schemes, in the form of an advection-diffusion, possibly with a source term. This type of equation is typical of viscous hydrodynamics, and therefore, using a method developed specifically for its resolution constitutes an innovative approach to the solution of the FRG flow equation. In particular, the Kurganov-Tadmor finite-volume scheme is adopted. We thus showed the reliability and the flexibility of this approach by applying it to the study of different systems. The first physical case discussed is the well-known O(N) model, where we applied the hydrodynamic formulation of the FRG flow equation in the LPA truncation to study the critical behaviour of the system and calculate the corresponding critical exponents. Particular attention is given to the error estimation in the extraction of critical exponents, which is a needed and not widely explored aspect. The results are well compatible with others in the literature, obtained with different perturbative and nonperturbative methods, which validates the procedure. The second part of the thesis begins with a brief review of the quark-meson model as a low-energy effective model of QCD, since it exhibits chiral symmetry breaking and quark-mass generation. The model is studied at finite temperature and quark chemical potential, using the Matsubara formalism. The LPA flow equations are also of the advection-diffusion type, with an extra source term arising from the inclusion of fermionic degrees of freedom. We thus adopted the previously described numerical techniques to derive the phase diagram of the model, which is in agreement with the one obtained with other techniques in the literature. We also exploited the numerical advancement to assess one of the most delicate issues which arise when using approximations to solve the FRG flow equation, i.e., the choice of the regulator. We performed a vacuum parameter study and used the RG consistency requirement to determine the impact of the choice of the regulator on the physical observables and on the phase diagram of the model. This study is particularly interesting since it develops in a systematic way a comparison of the results obtained via different regulators, showing both the importance of the choice of the UV- cutoff and consequently the fundamental role that RG consistency, the truncation of the effective average action and the choice of the regulator play in the determination of IR observables. In particular, in the MF approximation we found a perfect agreement of the results obtained within different regulator classes and regulator shape functions, as expected from the one-loop universality property. This solidifies the procedure we used to develop an RG-consistent UV-initial condition. In the LPA case, we studied the parameter space of the UV parameters. The latter is not totally accessible and has some boundaries, which translate into band in the accessible IR-curvature mass and on the phase diagrams obtained for different regulator shape-functions. We also observed that these bands tend to converge to a single point in the limit of diverging UV cutoff, indicating that one should choose a sufficiently large UV cutoff in order to get a parameter-independent initial condition and thus a regulator-independent IR potential. We also found that the phase diagram obtained using the same regulator-shape functions for both bosons and fermions are in significantly good agreement, signaling that our comparison procedure was indeed successful. Finally, we found that the results obtained with mixed combinations of regulator shape functions seem not to agree in the large-UV cutoff limit, due to possible scales mismatch in the FRG-scale integration. The last chapter is devoted to the study of thermodynamic geometry of the quark-meson model, which is based on the interpretation of the parameter space of the system as a differential manifold. One then can obtain relevant information about the phase transitions from the Ricci scalar. We studied the chiral crossover investigating the behavior of the Ricci scalar up to the critical point, featuring a peaking behavior in the presence of the crossover. We then repeated this analysis in the chiral limit, where the phase transition is expected to be of second order. Moreover, for low values of the chemical potential, the Ricci scalar remains negative, indicating that bosonic fluctuations reduce the system’s ability to completely overcome the fermionic statistical repulsion of quarks. On the other hand, as the chemical potential increases and approaches the critical point, we found that R is increased and changes sign, in agreement with mean-field studies. This geometric technique appears to be particularly interesting, and promising for new applications, since it can shed light on the (chiral) phase transition of QCD via quantities which are influenced by higher-order momenta of the thermodynamic potential, thus allowing us to analyze the transition in a more comprehensive way.

In questa tesi ci concentriamo sull'applicazione del Gruppo di Rinormalizzazione Funzionale (FRG) non perturbativo, per studiare il comportamento critico delle teorie di campo efficaci, con l'obiettivo finale di comprendere le proprietà critiche della Cromodinamica Quantistica (QCD) e in particolare della transizione di fase chirale. Abbiamo fornito un'introduzione generale alla QCD e al Gruppo di Rinormalizzazione Funzionale; quindi, abbiamo discusso il formalismo dell'azione media effettiva e l'equazione di Wetterich. A causa della natura funzionale dell'approccio FRG e dell'equazione di Wetterich, è generalmente necessario un ansatz per l'azione efficace. In questo lavoro scegliamo di adottare l'approssimazione del potenziale locale (LPA), dove ci si ferma all'ordine zero nell'espansione in operatori di ordine crescente in derivate dei campi, dell'azione quantistica efficace, includendo solo il potenziale quantistico efficace. L'idea chiave utilizzata in questo lavoro risiede nell'osservazione che l'equazione del flusso FRG nella LPA può essere espressa, per modelli specifici e alcuni schemi di troncamento, sotto forma di equazione di avvezione-diffusione, possibilmente con un termine sorgente. Questo tipo di equazione è tipica dell'idrodinamica viscosa e pertanto l'utilizzo di un metodo sviluppato appositamente per la sua risoluzione costituisce un approccio innovativo alla soluzione dell'equazione del flusso di FRG. In particolare, viene adottato lo schema ai volumi finiti Kurganov-Tadmor. Abbiamo quindi dimostrato l'affidabilità e la flessibilità di questo approccio applicandolo allo studio di diversi sistemi. Il primo caso fisico discusso è il noto modello O(N), in cui abbiamo applicato la formulazione idrodinamica dell'equazione del flusso di FRG nel troncamento LPA per studiare il comportamento critico del sistema e calcolare i corrispondenti esponenti critici. Particolare attenzione è data alla stima dell'errore nell'estrazione degli esponenti critici, che è un aspetto necessario e non ampiamente esplorato. I risultati sono ben compatibili con altri presenti in letteratura, ottenuti con diversi metodi perturbativi e non perturbativi, il che convalida la procedura. La seconda parte della tesi inizia con una breve revisione del modello quark-meson come modello efficace di QCD a bassa energia, poiché esibisce una rottura spontanea della simmetria chirale che genera dinamicamente la massa dei quark. Il modello è studiato a temperatura e potenziale chimico barionico finiti, utilizzando il formalismo di Matsubara. Anche in questo caso le equazioni del flusso nella LPA sono del tipo advezione-diffusione, con un termine sorgente aggiuntivo derivante dall'inclusione dei gradi di libertà fermionici. Abbiamo quindi adottato le tecniche numeriche precedentemente descritte per ricavare il diagramma di fase del modello, che è in accordo con quello ottenuto con altre tecniche presenti in letteratura. Abbiamo inoltre sfruttato l’avanzamento numerico per valutare una delle questioni più delicate che sorgono quando si utilizzano approssimazioni per risolvere l’equazione del flusso FRG, ovvero la scelta del regolatore. Abbiamo eseguito uno studio dei parametri nel vuoto e utilizzato il requisito di RG-consistency per determinare l'impatto della scelta del regolatore sulle osservabili fisiche e sul diagramma di fase del modello. Questo studio è particolarmente interessante poiché sviluppa in modo sistematico un confronto dei risultati ottenuti tramite diversi regolatori, mostrando sia l'importanza della scelta del cutoff UV e di conseguenza il ruolo fondamentale che la RG-consistency, il troncamento dell'azione media effettiva e la scelta del regolatore giocano nella determinazione degli osservabili IR. In particolare, nell'approssimazione MF abbiamo trovato un perfetto accordo dei risultati ottenuti all'interno di diverse classi di regolatori e funzioni di forma del regolatore, come previsto dalla proprietà di universalità one-loop. Ciò consolida la procedura che abbiamo utilizzato per sviluppare una condizione iniziale UV che fosse RG-consistent. Nel caso della LPA, abbiamo studiato lo spazio dei parametri UV. Quest'ultimo non è totalmente accessibile e presenta dei limiti, che si traducono in bande nella massa di curvatura IR accessibile e nei diagrammi di fase ottenuti per diverse funzioni di forma del regolatore. Abbiamo anche osservato che queste bande tendono a convergere verso un singolo punto nel limite del cutoff UV divergente, indicando che si dovrebbe scegliere un cutoff UV sufficientemente grande per ottenere una condizione iniziale indipendente dai parametri e quindi un potenziale IR indipendente dal regolatore. Troviamo che il diagramma di fase ottenuto utilizzando le stesse funzioni di forma del regolatore sia per i bosoni che per i fermioni concorda in modo significativamente buono, segnalando che la nostra procedura di confronto ha effettivamente avuto successo. Infine, troviamo che i risultati ottenuti con combinazioni miste di funzioni di forma del regolatore sembrano non concordare nel limite di grandi cutoff UV, a causa della possibile mancata corrispondenza delle scale nell'integrazione delle scale di impulso in FRG. L'ultimo capitolo è dedicato allo studio della geometria termodinamica del modello quark-meson, che si basa sull'interpretazione dello spazio dei parametri del sistema come varietà differenziale. Si possono quindi ottenere informazioni rilevanti sulle transizioni di fase dallo scalare di Ricci. Abbiamo studiato il crossover chirale indagando il comportamento dello scalare di Ricci fino al punto critico, caratterizzato da un comportamento di picco in presenza del crossover. Abbiamo poi ripetuto questa analisi nel limite chirale, dove ci si aspetta che la transizione di fase sia del secondo ordine. Inoltre, per bassi valori del potenziale chimico, lo scalare di Ricci rimane negativo, indicando che le fluttuazioni bosoniche riducono la capacità del sistema di superare completamente la repulsione statistica fermionica dei quark. D'altra parte, quando il potenziale chimico aumenta e ci si avvicina al punto critico, troviamo che R aumenta e cambia segno, in accordo con gli studi sul campo medio. Questa tecnica geometrica sembra essere particolarmente interessante e promettente per nuove applicazioni, poiché può far luce sulla transizione di fase (chirale) della QCD attraverso quantità che sono influenzate da momenti di ordine superiore del potenziale termodinamico, permettendoci così di analizzare la transizione in modo più completo.