Periodic solutions of ordinary differential systems with curvature-like principal part

The research activity has concerned the existence and multiplicity of periodic solutions for second order ordinary differential systems having a variational structure. The main feature is that the principal part of the associated functional is the length functional or the total variation functional. This kind of problem has received particular attention in the last years, see e.g. F. Obersnel and P. Omari, The periodic problem for curvature-like equations with asymmetric perturbations, J. Differential Equations 251 (2011), 1923—1971. In order to apply direct variational methods, one has to consider a relaxed functional defined on the space of functions with bounded variation. While the relaxed functional is suited, under appropriate assumptions, for minimization, critical point theory cannot be applied in a standard way. A first difficulty is that the functional is not continuously differentiable, but the major problem concerns the verification of the Palais-Smale condition. More precisely, under natural assumptions, it is not clear how to define a function space where one can prove both the lower semicontinuity of the functional and the Palais-Smale condition. The main purpose of the thesis is to propose a nonstandard functional approach which yields a positive answer to these two basic needs. Then the existence of a periodic solution is proved when the lower order functional is superlinear (while the principal part of the functional is asymptotically linear), in the line of a celebrated theorem of P.H. Rabinowitz, and when the lower order functional is asymptotically linear, under a suitable nonresonance condition. Moreover, in the line of Z. Liu and Z.-Q. Wang, On Clark's theorem and its applications to partially sublinear problems, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 32 (2015), 1015—1037, we prove the existence of infinitely many periodic solutions near the origin, under appropriate assumptions.

L'attività di ricerca ha riguardato lo studio dell'esistenza e della molteplicità di soluzioni periodiche per un sistema differenziale ordinario del secondo ordine, con una struttura variazionale. La particolarità più significativa è che la parte principale del funzionale associato è il funzionale della lunghezza o il funzionale della variazione totale. Questo genere di problema è stato oggetto di particolare attenzione negli ultimi anni (si veda, ad esempio F. Obersnel and P. Omari, The periodic problem for curvature-like equations with asymmetric perturbations, J. Differential Equations 251 (2011), 1923—1971). Per applicare i metodi variazionali diretti, si deve considerare un funzionale rilassato, definito sullo spazio delle funzioni a variazione limitata. Mentre questo funzionale rilassato è adatto, sotto certe ipotesi, per la minimizzazione, la teoria dei punti critici non può essere applicata in maniera classica. Una prima difficoltà sta nel fatto che il funzionale non risulta differenziabile con continuità, ma il problema maggiore riguarda la verifica della condizione di Palais-Smale. Più precisamente, sotto le ipotesi naturali, non è chiaro come definire uno spazio funzionale in cui sia possibile dimostrare sia la semicontinuità inferiore del funzionale, sia la condizione di Palais-Smale. L’obiettivo principale della tesi è di proporre un approccio non standard che produca una risposta positiva a queste due necessità basilari. L’esistenza di una soluzione periodica è poi dimostrata quando il funzionale di ordine inferiore superlineare (mentre la parte principale del funzionale è asintoticamente lineare), in linea con un celebre teorema di P.H.Rabinowitz, e quando il funzionale di ordine inferiore è asintoticamente lineare, sotto una opportuna ipotesi di non risonanza. Inoltre, in linea con Z. Liu and Z.-Q. Wang, On Clark's theorem and its applications to partially sublinear problems, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 32 (2015), 1015—1037, si dimostra l’esistenza di infinite soluzioni periodiche vicine all’origine, sotto appropriate condizioni.