Probing Bad Theories with the Dualization Algorithm

In the context of dualities for supersymmetric theories, mirror symmetry plays a crucial role. Recently, an algorithm to dualize a theory into its mirror dual has been developed, both for 3d N = 4 linear quivers and for their 4d N = 1 uplift. This mimics the manipulations done at the level of the Type IIB brane setup that engineers the 3d theories, where mirror symmetry is realized as S-duality, but it is entirely field-theoretic and based on the application of genuine infra-red dualities that implement the local action of S-duality on the quiver. In this thesis we use this tool to study the so-called bad theories. Our approach allows us to determine exactly indices/partition functions for generic values of fugacities/real mass and FI parameters revealing their surprising feature: the 4d index/3d partition function of a bad theory behaves as a sum of distributions rather than an ordinary function of the deformation parameters. In particular, the 4d index/3d partition function of a bad theory is given by a sum of terms each involving a Dirac delta distribution, enforcing a particular constraint on the fugacities/FI parameters, which multiplies the 4d index/3d partition function of an interacting good SCFT and various singlets. At first, we focus on the bad SQCD, with USp(2Nc) gauge group in 4d and U(Nc) gauge group in 3d. The resulting 4d index/3d partition function identity is then used locally on linear quivers of the same kind and with many bad nodes.

Nel contesto delle dualità per le teorie supersimmetriche, la simmetria mirror gioca un ruolo cruciale. Recentemente è stato sviluppato un algoritmo per dualizzare una teoria nel suo duale mirror, sia per i quiver lineari 3d N = 4 che per il loro uplift 4d N = 1. L'algoritmo imita le manipolazioni effettuate a livello di brane di tipo IIB che ingegnerizzano le teorie 3d, dove la simmetria mirror è realizzata come dualità S, ma è interamente basato sulla teoria di campo e si fonda sull'applicazione di autentiche dualità infrarosse che implementano l'azione locale della dualità S sul quiver. In questa tesi utilizziamo questo strumento per studiare le cosiddette teorie bad. Il nostro approccio ci permette di determinare esattamente gli indici/funzioni di partizione per valori generici dei parametri fugacità/massa reale e FI, rivelando una loro caratteristica sorprendente: la funzione di partizione 4d indice/3d di una teoria bad si comporta come una somma di distribuzioni piuttosto che come una funzione ordinaria dei parametri di deformazione. In particolare, la funzione di partizione 4d indice/3d di una teoria bad è data da una somma di termini che coinvolgono ciascuno una distribuzione delta di Dirac, che impone un particolare vincolo sui parametri di fugacità/FI, che moltiplica la funzione di partizione 4d indice/3d di una SCFT good interagente e di vari singoletti. In un primo momento, ci concentriamo sulla SQCD bad, con gruppo di gauge USp(2Nc) in 4d e gruppo di gauge U(Nc) in 3d. L'identità della funzione di partizione 4d viene poi utilizzata localmente su quiver lineari dello stesso tipo e con molti nodi bad.