Crystalline and Anisotropic, Nonlinear or Nonlocal Curvature Flows

Questo lavoro di tesi è dedicato allo studio di flussi geometrici, con particolare attenzione data al flusso per curvatura media. È diviso in due parti tematiche. La prima parte, Parte I, contiene i Capitoli 2, 3 e 4, e riguarda risultati di convergenza per lo schema dei movimenti minimizzanti, che è una procedura variazionale che estende lo schema implicito di Eulero a evoluzioni temporali con una struttura simile ad un flusso gradiente. Implementiamo questo schema per flussi di curvatura anisotropi o cristallini, non lineari, non locali o con curvatura non omogenea, e ne studiamo la convergenza verso soluzioni deboli del flusso della curvatura media. In particolare, nei Capitoli 2 e 3 studiamo la convergenza dello schema dei movimenti mini mizzanti nei casi in cui, rispettivamente, le energie superficiali siano di tipo non omogeneo (ovvero senza invarianza per traslazioni), oppure il moto per curvatura media sia modificato con una nonlinearità. Ci interessiamo alla convergenza di questi schemi discreti in tempo verso soluzioni deboli, di tipo viscoso in entrambi i capitoli, e di tipo distribuzionale nel Capitolo 2. Nel Capitolo 4, invece, consideriamo una seconda discretizzazione dello schema dei movimenti minimizzanti, che quindi risulta essere discreto in spazio e in tempo. Il risultato principale di questo capitolo è un limite discreto-continuo quando i parametri di discretizzazione tendono a zero. La seconda parte, Parte II, è dedicata allo studio del comportamento asintotico di alcuni flussi geometrici con vincolo di volume, sia in istanze discrete che continue nel tempo. Lo strumento tecnico principale impiegato è una disuguaglianza di Łojasiewicz-Simon adatta allo studio di questi tipi di evoluzioni. Nei Capitoli 5 e 6 ci si interessa al comportamento asintotico di discretizzazioni in tempo del flusso per curvature media con vincolo di volume, nel caso, rispettivamente, periodico oppure in cui l’energia di superficie considerata è frazionaria. L’ultimo capitolo, il Capitolo 7, tratta invece flussi continui nel tempo. In questo caso mostriamo risultati di esistenza per tempi lunghi e comportamento asintotico per il flusso di curvatura medio con vincolo di volume e il flusso di diffusione superficiale, nel caso particolare in cui il dato iniziale sia una piccola deformazione normale di un insieme periodico strettamente stabile.