Equazioni di Lane-Emden e geometria delle disuguaglianze di Sobolev-Poincaré

This thesis is addressed to the investigation of the optimal constants in the Sobolev-Poincaré inequalities and in the Hardy inequalities, as well as, to the study of the Lane-Emden equation for the $p-$Laplacian, with subhomogeneous power $q$ in the right-hand side. First, we prove a comparison principle for positive supersolutions and subsolutions of the Lane-Emden equations, then, as applications, we give some results concerning such solutions when defined on convex sets. By exploiting the previous results, we discuss the relation between the embedding of the homogeneous Sobolev space $\mathcal{D}^{1,p}_0$ into $L^q$ and the summability properties of the distance function, thanks to a preliminary study for the sharp constants in Morrey-type and Hardy-type inequalities for general open sets. In turn, this analysis permits to study the asymptotic behaviour of both the optimal constants in the Sobolev-Poincaré inequalities and the positive solutions of the Lane-Emden equation, as the exponent $p$ diverges to $\infty$, under optimal assumptions on the open set. We also give some geometric lower bounds for sharp Sobolev-Poincaré constants $\lambda_{p,q}$, when $q < p$, on the class of convex bounded open sets: indeed, we prove that $\lambda_{p,q}$ can be bounded from below both in terms of the norm of the distance function in a suitable Lebesgue space, and in terms of a certain power of the inradius of the set. The results so obtained generalize the Makai inequality and the Hersch-Protter inequality, respectively. Finally, in the last part of the thesis, we study the sharp constant in the Hardy inequality in the setting of fractional Sobolev spaces $W^{s,p}$ defined on general open sets, for every $0<s<1$. We first list some properties of such a constant and we give a variational characterization, which extends an analogous well-known result for the local case. Then, focusing on the class of convex open sets, we compute the sharp fractional Hardy constant in the regime $s\,p \ge 1$, by constructing suitable supersolutions for the associated equation by means of the distance function. We note that we can avoid the claimed restriction on $s\,p$ when the convex set is an half-space.

Questa tesi è dedicata allo studio delle costanti ottime nelle disuguaglianze di Sobolev-Poincaré e nella disuguaglianza di Hardy e allo studio dell’equazione di Lane-Emden per il $p-$Laplaciano, con potenza $q$ sotto-omogenea nel termine a destra. Prima, dimostriamo un principio di confronto tra le soprasoluzioni e le sottosoluzioni positive dell’equazione di Lane-Emden e, come applicazioni, proviamo alcuni risultati relativi a tali soluzioni quando sono definite su insiemi convessi. In seguito, utilizzando i risultati precedenti, discutiamo la relazione tra l’inclusione dello spazio omogeneo di Sobolev $\mathcal{D}^{1,p}_0$ in $L^q$ e le proprietà di sommabilità della funzione distanza, grazie a uno studio preliminare delle costanti ottime in disuguaglianze di tipo Morrey e Hardy per insieme aperti generali. Inoltre questa analisi permette di studiare il comportamento asintotico sia delle costanti ottime nelle disuguaglianze di Sobolev-Poincaré, sia delle soluzioni positive dell’equazione di Lane-Emden, quando l’esponente $p$ diverge a $\infty$, con ipotesi ottimali sull’insieme aperto. Inoltre, diamo alcuni {\it lower bound} geometrici ottimali per le costanti ottime di Sobolev-Poincaré $\lambda_{p,q}$, quando $q < p$, nella classe degli insiemi convessi aperti limitati: dimostriamo che $\lambda_{p,q}$ può essere limitato dal basso sia in termini della norma della funzione distanza in un opportuno spazio di Lebesgue, sia in termini di una certa potenza dell’{\it inradius} dell’insieme. I risultati così ottenuti generalizzano rispettivamente la disuguaglianza di Makai e la disuguaglianza di Hersch-Protter. Nella parte finale della tesi, studiamo la costante ottima della disuguaglianza di Hardy negli spazi di Sobolev frazionari definiti su aperti generali. Prima elenchiamo alcune proprietà di tale costante e ne diamo una caratterizzazione variazionale, che estende un risultato analogo ben noto nel caso locale. Poi, considerando la classe degli aperti convessi, calcoliamo la costante ottima di Hardy, nel regime $s\,p \ge 1$, costruendo opportune soprasoluzioni per l’equazione associata per mezzo della funzione distanza. Osserviamo che è possibile rimuovere la restrizione su $s\,p$ quando l’insieme convesso coincide con un semispazio.