A general framework for multidimensional WENO schemes

In the present Ph.D work a novel spatial reconstruction method for the discretisation of partial differential equations is derived and described. The presented formulation allows the construction of new schemes as well as deeper mathematical analysis of the old and already used schemes. The starting point of the analysis are the well-known ENO/WENO schemes that widely proved to be reliable and effective, especially in the discretisation of systems conservation laws, such as Euler or Navier-Stokes equations. The new proposed family of reconstruction methods, presents the main advantage of being agnostic with respect to the number of spatial dimensions, the grid kind, the grid topology and the particular differential problem that needs be solved. Moreover, since the presented reconstruction scheme can be considered an extension of classical WENO schemes, it presents good stability properties. The presented work is mainly theoretical and aims at providing a framework to produce numerical schemes under a unified and coherent mathematical formulation.

In questo Ph.D., viene presentata una nuova tecnica per la discretizzazione spaziale di equazioni differenziali alle derivate parziali. Questa nuova formulazione permette allo stesso tempo la costruzione di nuovi schemi di discretizzazione e propone un nuovo modo per analizzare gli schemi esistenti. Il principale vantaggio di questa nuova formulazione è che permette la costruzione di schemi di discretizzazione in maniera indipendente dal numero di dimensioni spaziali, dal tipo e dalla topologia della griglia e dal particolare problema differenziale che si vuole risolvere. Gli schemi ottenuti possono essere considerati una generalizzazione dei classici schemi WENO e quindi presentano proprietà di convergenza simili. Questo lavoro è principalmente teorico, e ha lo scopo di proporre un framework per costruire schemi di ricostruzione.