Multilevel Monte Carlo time domain methods for electromagnetic problems involving random material

In the recent thirty years, the rapid development of numerical methods and computers has greatly enhanced the predictive ability of Computational Electromagnetics (CEM). As a result, it is increasingly approaching the electromagnetic simulation of the real world. However, uncertainties exist widely in various practical applications, and the electromagnetic modeling and simulation of random material have been longstanding challenges that the traditional CEM is difficult to handle. Therefore, researching CEM methods for uncertain electromagnetic models is of significant guiding and application value in gaining a deeper understanding of complex electromagnetic environments in the real world to help decision-makers make wiser decisions in the face of uncertainties. Classic uncertainty quantification methods, such as the Monte Carlo (MC) method has the advantages of generality and high accuracy, but suffers from slow convergence. More sophisticated methods, such as polynomial chaos and perturbation methods, have high efficiency, but their applicability is highly restricted. To preserve the advantages of the MC method and improve its convergence rate, the multilevel Monte Carlo (MLMC) method has been recently proposed in statistics. Due to its advantages of efficiency, robustness, and simplicity, it has been widely applied in various scientific and engineering fields. The Finite Difference Time Domain (FDTD) method is a commonly used CEM method. Due to its relative simplicity and intuitiveness, many uncertainty quantification methods can be naturally integrated with the FDTD method. However, the FDTD method has an inherent drawback, i.e., the time step size is restricted by the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition. Recently, the Precise Integration Time Domain (PITD) method, which can break through the CFL stability condition, has received extensive attention. Nevertheless, the PITD method requires high computational memory and sometimes cannot even complete computations. For these reasons, this dissertation applies the MLMC method to the FDTD and PITD methods, and with the participations of some other techniques, to solve electromagnetic problems involving random material. The main contributions of this dissertation are summarized as follows: (1) To address the problem of slow convergence in the MC-FDTD method, the MLMC method is coupled with the FDTD algorithm, and the resulting MLMC-FDTD method is proposed. This method can quickly provide the estimations of the mean and variance of any electromagnetic field quantity. The main idea is to decompose the computational model into multiple levels (called coarse-fine levels), where each level uses different spatial resolutions and sample sizes. The lower levels use a rough but low computational cost model for large-scale sampling, while the high levels use a fine but high computational cost model for small-scale sampling. The final estimation formula of electromagnetic field quantities in the MLMC-FDTD method is obtained as the sum of estimation formulas of multiple levels. Since most of the uncertainties can be captured on coarse models, fewer samples are enabled on fine models, significantly reducing the computational cost. (2) To tackle the non-smooth problem in estimating the probability distribution using the MLMC-FDTD method, the MLMC method enhanced by a smoothing technique based on Kernel Density Estimation (KDE), is coupled with the FDTD algorithm. The KDE can be used to smooth out the differences between probability distributions of different levels, so as to accelerate the decay of the estimator variance. The implementation of KDE in the MLMC-FDTD method is as easy as the naive indicator function with almost no additional computational cost. However, it shows that only KDE guarantees good performances of the MLMC-FDTD method in the estimation of probability distributions. In addition, theoretical derivations of the computational time for the MLMC-FDTD method are provided, confirming that its computational time is always less than that of the MC-FDTD method. (3) To release the constraint of the CFL stability condition in the MLMC-FDTD method, the MLMC-PITD method is proposed. The MC method is coupled with the PITD algorithm and the resulting MC-PITD estimations of the mean and variance of any electromagnetic field quantity are presented. Compared to the MC-FDTD method, the MC-PITD method can provide almost exact solutions using a larger time step size. Furthermore, the MLMC method is coupled with the PITD algorithm and the resulting MLMC-PITD estimations of the mean and variance of any electromagnetic field quantity are presented. Unlike in the MLMC-FDTD method the allowed time step size becomes smaller as the level increases, in the MLMC-PITD method all levels of the model can adopt the maximum time step size corresponding to the coarsest grid, allowing the MLMC method to fully leverage its advantages. (4) To address the problem of heavy memory burden caused by the high-dimensional dense matrix exponentials in the MC-PITD method, two memory-efficient MC-PITD methods are proposed. One is the Monte Carlo Riccati Precise Integration Time Domain (MC-Riccati-PITD) method. This method can store and solve electromagnetic field components in the form of matrices instead of vectors, reducing the dimensionality of matrix exponentials. The other is the Monte Carlo Threshold PITD (MC-T-PITD) method. In this method, based on the finite velocity of electromagnetic wave, a thresholding scheme is introduced to eliminate tiny and thus unimportant elements of matrix exponentials so as for sparse computations.

Negli ultimi trent'anni, lo sviluppo rapido dei metodi numerici e dei computer ha notevolmente migliorato la capacità predittiva dell'Elettromagnetismo Computazionale (CEM). Di conseguenza, si sta avvicinando sempre di più alla simulazione elettromagnetica del mondo reale. Tuttavia, le incertezze sono diffuse in molte applicazioni pratiche e la modellazione e simulazione elettromagnetica di materiali casuali costituiscono una sfida di lunga data difficile da affrontare con i metodi tradizionali del CEM. Pertanto, la ricerca di metodi CEM per modelli elettromagnetici incerti ha un significativo valore guida e di applicazione per acquisire una comprensione più approfondita di complessi ambienti elettromagnetici nel mondo reale e aiutare i decisori a prendere decisioni più sagge di fronte alle incertezze. I metodi classici di quantificazione delle incertezze, come il metodo Monte Carlo (MC), vantano di essere generali e altamente accurati, ma soffrono di convergenza lenta. Metodi più sofisticati, come il metodo del caos polinomiale e i metodi di perturbazione, sono efficienti, ma la loro applicabilità è molto limitata. Per conservare i vantaggi del metodo MC e migliorare il tasso di convergenza, è stato recentemente proposto un metodo Monte Carlo multilivello (MLMC) in statistica. Grazie ai suoi vantaggi di efficienza, robustezza e semplicità, è stato ampiamente applicato in diversi campi scientifici e di ingegneria. Il metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) è un metodo CEM comunemente usato. Grazie alla sua relativa semplicità e intuitività, molti metodi di quantificazione delle incertezze possono essere integrati in modo naturale con il metodo FDTD. Tuttavia, il metodo FDTD ha uno svantaggio intrinseco, ossia che la dimensione del passo temporale è limitata dalla condizione di stabilità di Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Recentemente, è stato dedicato grande attenzione al metodo della Precisione dell'Integrazione nel Dominio del Tempo (PITD), che può superare la condizione di stabilità CFL. Tuttavia, il metodo PITD richiede un'elevata capacità di calcolo e talvolta non riesce nemmeno a completare i calcoli. Per questi motivi, questa dissertazione applica il metodo MLMC ai metodi FDTD e PITD, insieme alla partecipazione di altre tecniche, per risolvere problemi elettromagnetici che coinvolgono materiali casuali. Le principali contribuzioni di questa dissertazione sono riassunte come segue: (1) Per affrontare il problema della lenta convergenza nel metodo MC-FDTD, si accoppia il metodo MLMC con l'algoritmo FDTD, proponendo così il metodo MLMC-FDTD. Questo metodo può fornire rapidamente stime della media e della varianza di qualsiasi quantità di campo elettromagnetico. L'idea principale è scomporre il modello computazionale in diversi livelli (chiamati livelli grossolani e fini), in cui ogni livello utilizza risoluzioni spaziali e dimensioni campionarie diverse. I livelli inferiori utilizzano un modello approssimato ma con basso costo computazionale per campionamenti su larga scala, mentre i livelli più alti utilizzano un modello fine ma con alto costo computazionale per campionamenti su piccola scala. La formula finale di stima delle quantità di campo elettromagnetico nel metodo MLMC-FDTD è ottenuta come somma delle formule di stima dei diversi livelli. Poiché la maggior parte delle incertezze può essere catturata su modelli grossolani, meno campionamenti vengono eseguiti su modelli fini, riducendo significativamente il costo computazionale. (2) Per affrontare il problema della non regolarità nella stima della distribuzione di probabilità utilizzando il metodo MLMC-FDTD, si accoppia il metodo MLMC con l'algoritmo FDTD, potenziandolo con una tecnica di smoothing basata sulla stima della densità di kernel (KDE). Il KDE può essere utilizzato per levigare le differenze tra le distribuzioni di probabilità dei diversi livelli, accelerando così il decadimento della varianza dell'estimatore. L'implementazione del KDE nel metodo MLMC-FDTD è semplice quanto l'utilizzo di una funzione indicatrice naiva, con quasi nessun costo computazionale aggiuntivo. Tuttavia, si dimostra che solo il KDE garantisce buone prestazioni del metodo MLMC-FDTD nella stima delle distribuzioni di probabilità. Inoltre, vengono fornite derivazioni teoriche del tempo computazionale per il metodo MLMC-FDTD, confermando che il suo tempo computazionale è sempre inferiore a quello del metodo MC-FDTD. (3) Per eliminare il vincolo della condizione di stabilità CFL nel metodo MLMC-FDTD, viene proposto il metodo MLMC-PITD. Il metodo MC è accoppiato con l'algoritmo PITD e vengono presentate le stime MC-PITD della media e della varianza di qualsiasi quantità di campo elettromagnetico. Rispetto al metodo MC-FDTD, il metodo MC-PITD può fornire soluzioni quasi esatte utilizzando un intervallo di tempo più grande. Inoltre, il metodo MLMC è accoppiato con l'algoritmo PITD e vengono presentate le stime MLMC-PITD della media e della varianza di qualsiasi quantità di campo elettromagnetico. A differenza del metodo MLMC-FDTD, in cui la dimensione dell'intervallo di tempo consentito diventa più piccola all'aumentare del livello, nel metodo MLMC-PITD tutti i livelli del modello possono adottare la dimensione massima dell'intervallo di tempo corrispondente alla griglia più grossolana, consentendo al metodo MLMC di sfruttare appieno i suoi vantaggi. (4) Per affrontare il problema del pesante carico di memoria causato dalle esponenziali di matrici dense ad alta dimensione nel metodo MC-PITD, vengono proposti due metodi MC-PITD efficienti in termini di memoria. Uno è il metodo Monte Carlo Riccati Precise Integration Time Domain (MC-Riccati-PITD). Questo metodo può memorizzare e risolvere le componenti del campo elettromagnetico nella forma di matrici invece di vettori, riducendo la dimensionalità delle esponenziali di matrici. L'altro è il metodo Monte Carlo Threshold PITD (MC-T-PITD). In questo metodo, basandosi sulla velocità finita dell'onda elettromagnetica, viene introdotto uno schema di soglia per eliminare elementi piccoli e quindi non importanti delle matrici esponenziali, consentendo calcoli sparsi.