On monotonicity formulae, fractional operators and strong competition

The main focus of the thesis is on qualitative properties of solutions to system of elliptic semilinear equations which contain interaction-competition terms. The manuscript is divided in two parts, corresponding to the two main subjects of the thesis. In the first part we deal with uniform estimates in appropriate spaces for solutions to fractional elliptic system involving strong competition. In the second and last part, for a system of elliptic equations concerning the study of Bose-Einstein condensates, we shall prove existence of entire solutions which exhibit an exponential growth at infinity. The main theme, common to the two parts, is the use of monotonicity formulae of Alt-Caffarelli-Friedman and Almgren type in the study of solutions of elliptic systems.

L'oggetto principale della tesi è lo studio delle proprietà qualitative di sistemi di equazioni ellittiche semilineari che contengo termini di interazione-competizione. Il testo è diviso in due parti, che corrispondono alle due principali aree di indagine della tesi. Nella prima parte, ci occupiamo di ottenere stime uniformi in opportuni spazi funzionali per le soluzioni di sistemi di equazioni ellittiche frazionarie in cui entra in gioco una forte competizione. Nella seconda ed ultima parte, per un sistema di equazioni ellittiche legate allo studio dei condensati di Bose-Einstein, dimostriamo esistenza di soluzioni intere che crescono in modo esponenziale lungo opportune direzioni. Il tema principale, comune ad entrambe le parti, risiede nell'uso di formule di monotonia alla Alt-Caffarelli-Friedman e Almgren per lo studio delle soluzioni di sistemi ellittici.