Unfitted numerical methods for fluid-structure interaction arising between an incompressible fluid and an immersed thick structure

The purpose of this thesis is to propose innovative numerical methods for the simulation of fluid-structure interaction problems in the case of an immersed structure that interacts with an incompressible fluid. This is a typical situation that occurs in many engineering applications as well as in some biomedical applications, such as in the simulation of heart valves. We address the case of an immersed structure that undergoes large deformations. In particular, we consider a full three-dimensional model for the structure, though its thickness is smaller than its characteristic size. After a review of the numerical methods presented in the literature regarding the fluid-structure interaction problem, we propose two unfitted numerical methods, whose peculiarity is that they rely on unfitted and overlapping meshes, in particular the structure mesh overlaps the fluid one. The advantage of these approaches is that the structure mesh is allowed to move independently of the fluid one, which is fixed. Due to their overlapping, this generates polygonal elements in the fluid mesh that require to be properly managed. The first method that we propose, the Extended Finite Element Method coupled with a Discontinuous Galerkin mortaring, allows to describe a discontinuous solution within a fluid element that is split by the structure. We present the discrete formulation, first for the Poisson problem, and then for the fluid-structure interaction one. Numerical results for both problems are presented in 3D for a fixed and moving structure, by showing comparisons with respect to analytical solutions and the classical (fitted) Finite Element Method. Moreover, we provide the implementation details for the main issues that characterize this approach. The second method that we propose, the Polygonal Discontinuous Galerkin method, allows to directly treat the resulting polygonal elements that appear in the fluid mesh, by generating suitable shape functions and degrees of freedom on the polygon itself. The numerical formulation is presented and numerical results are provided in 2D for a moving structure. The numerical results highlight the effectiveness of the proposed methods in solving fluid-structure interaction problems in the case of moving immersed structure.

L'obiettivo di questa tesi è di proporre dei metodi numerici innovativi per la simulazione di problemi di interazione fluido-struttura nel caso di una struttura immersa che interagisce con un fluido incomprimibile. Questa è una tipica situazione che si verifica in molte applicazioni ingegneristiche così come in alcune applicazioni biomediche, per esempio nel caso di simulazioni di valvole cardiache. In particolare, si considera il caso di una struttura immersa soggetta a grandi deformazioni e utilizzando un modello tri-dimensionale per la struttura, sebbene il suo spessore sia più piccolo della sua dimensione caratteristica. Dopo una rassegna dei metodi numerici presenti in letteratura riguardanti problemi di interazione fluido-struttura, si propongono due metodi numerici "unfitted", la cui particolarità risiede nel fatto che le griglie computazionali non combaciano all'interfaccia. Inoltre la griglia associata alla struttura è sovrapposta a quella del fluido. Il vantaggio di questi approcci è che la griglia associata alla struttura è libera di muoversi indipendentemente dalla griglia associata al fluido, che rimane fissa. A causa della loro sovrapposizione, si generano elementi poligonali all'interno della griglia del fluido che richiedono un trattamento appropriato. Il primo metodo che si propone, il metodo agli Elementi Finiti Estesi accoppiato con un metodo di Galerkin discontinuo, permette di descrivere una soluzione discontinua all'interno di un elemento della griglia fluido che è intersecato e diviso in più parti dalla struttura. Si presenta la formulazione discreta, prima per il problema di Poisson, e poi per il problema di interazione fluido-struttura. Si presentano risultati numerici in 3D per entrambi i problemi sia per struttura fissa che mobile, confrontandoli con soluzioni analitiche o rispetto il classico metodo agli Elementi Finiti. Inoltre, si forniscono i dettagli implementativi riguardo i principali problemi numerici/computazionali che caratterizzano questo approccio. Il secondo metodo che si propone, il metodo di Galerkin discontinuo poligonale, permette di trattare direttamente gli elementi poligonali che appaiono all'interno della griglia associata al fluido, generando delle appropriate funzioni di base e gradi di libertà definiti sul poligono stesso. Si presenta la formulazione numerica e si forniscono risultati in 2D nel caso di una struttura in movimento. I risultati numerici evidenziano l'efficacia dei metodi proposti nel risolvere problemi di interazione fluido-struttura nel caso di strutture immerse in movimento.