Reduced order models for the parametrized cardiac electromechanical problem

In this thesis we develop a reliable and efficient reduced-order framework in order to speed up the solution of parametrized coupled electromechanical problems, aiming at the description of heart functioning in different scenarios. Indeed, being able to rapidly approximate the solution of such problems allows to query the parameter-to-solution map in a very inexpensive way and, ultimately, to investigate the impact of significant model parameters: this is required when dealing e.g. with sensitivity analysis, uncertainty quantification, and parameter estimation. In particular, when dealing with cardiac modeling, the need for reduction arises from the increasing interest in understanding how the heart contraction and the propagation of the electrical signal are affected by some clinically relevant parameters, such as the muscular fibers orientation or electrical conductivities. The reduction of the cardiac elettromechanics requires to face several challenges from both modeling and computational viewpoints. Indeed, the heart beat involves processes that act simultaneously at the cellular, tissue, and organ levels, thus yielding a multiscale and multiphysics coupled problem. Moreover, in order to correctly describe the displacement of the myocardium, we need a highly nonlinear constitutive law, accounting for the presence of muscular fibers and sheets. Our approach relies on a reduced basis method that consists in projecting the problem to be solved onto low-dimensional spaces built e.g. by the Proper Orthogonal Decomposition technique. We propose and compare different strategies for handling nonlinear terms efficiently, exploring suitable ways to combine Proper Orthogonal Decomposition with hyper-reduction techniques. In particular, the Discrete Empirical Interpolation Method and its matrix version are exploited to perform system approximation at a purely algebraic level. A fast and reliable approximation of both the electrical and the mechanical model is achieved through the development of two separate reduced order models. Moreover, we propose a suitable strategy to obtain a fully reduced coupled problem, where the interaction of the cardiac electrophysiology system with the contractile muscle tissue, as well as the sub-cellular activation-contraction mechanism, are included. Three dimensional numerical simulations on both idealized and patient-specific geometries are performed and discussed to assess the effectiveness of the proposed method.

In questa tesi sviluppiamo un modello ridotto affidabile ed efficiente capace di accelerare la soluzione di problemi accoppiati dipendenti da parametri, al fine di descrivere il funzionamento del muscolo cardiaco in diversi scenari. Infatti, essendo in grado di approssimare rapidamente la soluzione di problemi di elettromeccanica cardiaca, il modello ridotto consente di interrogare la mappa parametri-soluzione in modo molto economico e, in ultima analisi, di valutare l'impatto di importanti parametri del modello: ciò è richiesto in contesti come analisi di sensitività, uncertainty quantification e stima dei parametri. In particolare, quando si tratta di modellazione cardiaca, la necessità di ridurre nasce dal crescente interesse a comprendere come la contrazione cardiaca e la propagazione del segnale elettrico sono influenzati da alcuni parametri clinicamente rilevanti, quali l'orientamento delle fibre muscolari o le conduttività elettriche. La riduzione dell'elettromeccanica cardiaca richiede di affrontare diverse sfide sia dal punto di vista modellistico che dal punto di vista computazionale. Il battito cardiaco implica infatti processi che agiscono simultaneamente a livello cellulare, di tessuti e di organi, ottenendo così un problema accoppiato caratterizzato da scale spaziali e temporali molto diverse. Inoltre, al fine di descrivere correttamente la contrazione del miocardio, occorre una legge costitutiva altamente non lineare, che rappresenti correttamente la presenza di fibre e fogli muscolari. Il nostro approccio si basa sul metodo delle basi ridotte che consiste nel proiettare il problema da risolvere su spazi di piccola dimensione, costruiti ad esempio utilizzando la tecnica di decomposizione ai valori singolari. In questa tesi proponiamo e confrontiamo diverse strategie per la gestione efficiente dei termini non lineari, esplorando metodi adeguati per combinare la Proper Orthogonal Decomposition con tecniche di iper-riduzione. In particolare, l'interpolazione empirica discreta e la sua versione matriciale vengono sfruttate per eseguire riduzione di modello a livello puramente algebrico. Un'approssimazione veloce e affidabile sia del modello elettrico che di quello meccanico è ottenuta attraverso lo sviluppo di due modelli ridotti separati. Inoltre, proponiamo una strategia adeguata per ottenere un problema accoppiato completamente ridotto, in cui sono inclusi sia l'interazione del sistema di elettrofisiologia cardiaca con il tessuto muscolare contrattile, sia il meccanismo di attivazione-contrazione sub-cellulare. Simulazioni numeriche tridimensionali su geometrie idealizzate e pazient-specific sono proposte e discusse dettagliatamente per dimostrare l'efficacia del metodo proposto.