Modelli Matematici e Numerici di Flussi Granulari con Applicazioni alla Valutazione del rischio Vulcanico

This thesis focuses on modeling dense granular flows (Pudasaini and Hutter, 2007) us- ing the Shallow-Water equations (Leveque, 2004; Toro, 2009) with Coulomb-type friction terms (Mangeney-Castelnau et al., 2005; De’ Michieli Vitturi et al., 2019) and on its ap- plication to associated hazard (Neri et al., 2015). By following a Monte-Carlo approach (Patra et al., 2018; Bevilacqua et al., 2019), we started by generating a probabilistic reconstruction of a dense deposit-derived pyroclastic density current (PDC) occurred at Stromboli Island on September 11, 1930 (Di Roberto et al., 2014). This involved running multiple simulations with varied initial conditions and frictional configurations, so that a wide range of possible flow scenarios could be an- alyzed. For each simulation, the governing equations were solved using the finite volume code “IMEX SfloW2d ” (De’ Michieli Vitturi et al., 2019; Gueugneau et al., 2021) adop- tiong the Voellmy-Salm rheology (Salm, 1993; Kelfoun, 2011; Gueugneau et al., 2019). The optimal probabilistic reconstruction was obtained considering a subset of simulations showing maximum flow thickness at specified target locations consistent with observations obtained from field surveys. Given that this optimal reconstruction showed fair agreement also with further literature data (Rittmann, 1931; Abbruzzese, 1936), we subsequently adopted the same numerical model and a wider Monte-Carlo framework to produce haz- ard maps for PDCs generated by the remobilization of pyroclastic material related to possible future volcanic eruptions, not necessarily affecting the same valleys of the 1930 PDC. Subsequently, to address the inherent stochasticity of granular flows (Iverson et al., 2010; Chassignet et al., 2012; Roche et al., 2021) as well as the uncertainties introduced by using empirical friction laws (Roche et al., 2021), we designed a stochastic system of depth-averaged equations and we implemented it in “IMEX SfloW2d ”. This new model is characterized by a stochastic friction term obtained by perturbing a deterministic fric- tion law with random fluctuations generated by an Ornstein-Uhlenbeck process (Kloeden et al., 1994; Baldi, 2017) to which we added an extra advection term. The impact of the stochastic friction has been assessed by comparing results obtained from the stochastic model with results generated by the corresponding deterministic model. Interestingly, averaging effects (Freidlin and Wentzell, 2012) leading very limited variability in the re- sults have been observed when introducing fluctuations characterized by small correlation times. Conversely, much more variable results were obtained when considering longer correlation times. Finally, inspired by Audusse et al. (2015a) and Berthon and Chalons (2015), we designed a well-balanced (Greenberg and Leroux, 1996) first-order Godunov-type finite volume scheme tailored for the shallow water equations with Colomb-type friction terms. The proposed scheme ensures by construction the conservation of mass and momentum, as well as the positivity of the flow thickness, and it can capture wet-dry transitions and shock waves. Moreover, by directly including the effects of the friction into the numerical fluxes, the proposed scheme can accurately preserve the steady states at rest of the sys- tem. Comparisons with other first-order finite volume schemes (e.g. Mangeney-Castelnau et al., 2005) highlight its performances.

Questa tesi si concentra sulla modellizzazione di flussi granulari densi (Pudasaini and Hutter, 2007) utilizzando le equazioni Shallow-Water (Leveque, 2004; Toro, 2009) con termini di attrito di tipo Coulomb (Mangeney-Castelnau et al., 2005), e sulla pericolosità associata (Neri et al., 2015). Seguendo un approccio Monte-Carlo (Bevilacqua et al., 2019), abbiamo inizialmente gen- erato una ricostruzione probabilistica di una corrente piroclastica densa, derivata da un deposito di materiali piroclastici, avvenuta sull’isola di Stromboli l’11 Settembre 1930 (Di Roberto et al., 2014). At tal fine, abbiamo simulato flussi con diverse condizioni in- iziali e configurazioni di attrito, in modo da poter analizzare un’ampia gamma di possibili scenari. Per ogni scenario all’interno del modello Monte-Carlo, il sistama di equazioni a derivate parziali é stato risolto utilizzando il codice a volumi-finiti “IMEX SfloW2d ” (De’ Michieli Vitturi et al., 2019; Gueugneau et al., 2021), adottando la reologia Voellmy-Salm (Salm, 1993; Kelfoun, 2011; Gueugneau et al., 2019). La ricostruzione ottimale è stata ottenuta considerando un sottoinsieme di simulazioni il cui spessore massimo del flusso, in specifiche località, è coerente con valori stimati da rilievi su terreno. Considerato che la ricostruzione é in accordo anche con osservazioni complementari (Rittmann, 1931; Abbruzzese, 1936), abbiamo successivamente adottato lo stesso modello numerico ed un simile approccio Monte-Carlo per produrre mappe di pericolosità per flussi generati dalla rimobilitazione di materiale piroclastico, relative a possibili eruzioni future, non neces- sariamente riguardanti le stesse valli impattate nel 1930. Successivamente, per tener conto della stocasticità intrinseca dei flussi granulari (Iverson et al., 2010; Chassignet et al., 2012) e delle incertezze introdotte dall’uso di leggi di at- trito empiriche (Roche et al., 2021), abbiamo sviluppato un sistema stocastico di equazioni implementato in una nuova versione di “IMEX SfloW2d ”. Questo nuovo modello è carat- terizzato da un termine di attrito stocastico, ottenuto perturbando una legge di attrito deterministica con fluttuazioni generate da un processo Ornstein-Uhlenbeck (Kloeden et al., 1994; Baldi, 2017), a cui è stato aggiunto un termine di trasporto. L’impatto delle fluttuazioni sull’attrito sono state valutate confrontando i risultati del modello stocastico con quelli generati dal corrispondente modello deterministico. Introducendo fluttuazioni caratterizzate da piccole correlazioni temporali, i risultati presentano una variabilità limi- tata a causa di effetti di averaging (Freidlin and Wentzell, 2012). Tuttavia, risultati molto più variabili si ottengono considerando correlazioni temporali più lunghe. Infine, ispirati da Audusse et al. (2015a) e Berthon and Chalons (2015), abbiamo svilup- pato uno schema a volumi-finiti well-balanced (Greenberg and Leroux, 1996), di tipo Godunov (del primo ordine), specifico per risolvere equazioni Shallow-Water con termini di attrito di tipo Coulomb. Lo schema proposto assicura la conservazione della massa e della quantità di moto, garantendo anche la positività dello spessore del flusso. Tran- sizioni wet-dry ed onde d’urto sono inoltre catturate correttamente. Infine, includendo direttamente gli effetti del termine sorgente di tipo Coulomb nei “flussi numerici ”, lo schema preserva le soluzioni stazionarie a riposo del sistema. Confronti con altri schemi a volumi-finiti del primo ordine (e.g. Mangeney-Castelnau et al., 2005) ne evidenziano le prestazioni.