Coactions of E(n) on Clifford Algebras

We obtain a characterization of coactions of Sweedler’s Hopf algebra on a finite-dimensional algebra A. We show that each coaction is completely determined by the choice of an involution and of a suitable skew-derivation of A. We classify all involutions and skew-derivations of A when A is a four-dimensional Clifford algebra and use this complete classification to determine which coactions allow us to construct rt(h-)separable and Frobenius cowreaths. We extend the correspondence between coactions and pairs of involutions and skew-derivations found in the four-dimensional case to algebras of higher dimension. We specify to the case A is a simple algebra and show that under this hypothesis the family of coactions on A is determined by the choice of a tuple of elements whose squares are in the center of A. Finally, assuming A is non-semisimple, we obtain a refinement of our classification of coactions in the four dimensional case by identifying isomorphic coactions.

Otteniamo una caratterizzazione delle coazioni dell’algebra di Sweedler su un’algebra finito-dimensionale A. Proviamo che ciascuna coazione è completamente determinata dalla scelta di un’involuzione su A e di una adeguata pseudo-derivazione. Successivamente classifichiamo tutte le involuzioni e le corrispondenti pseudo-derivazioni di A nel caso questa sia un’algebra di dimensione 4. Utilizziamo quindi tale classificazione per determinare quali coazioni ci permettano di costruire dei cowreaths che siano Frobenius e rt(h)-separabili. Estendiamo la corrispondenza evidenziata tra coazioni e coppie di involuzioni e pseudo-derivazioni nel caso quadridimensionale al caso di algebre di dimensione superiore. Trattiamo il caso in cui A è un’algebra semplice e mostriamo che sotto questa ipotesi ogni coazione di A è determinata dalla scelta di una tupla di elementi il cui quadrato appartiene al centro di A. Infine, assumendo che A sia non-semisemplice, raffiniamo la classificazione delle coazioni ottenuta nel caso quadridimensionale identificando tra loro tutte le coazioni isomorfe.