Metodi topologici e capacitari per disuguaglianze di Poincaré

This thesis is devoted to prove characterizations of the validity of Poincaré-type inequalities on general open sets in the euclidean space. In the super-conformal case, i.e. when points are not removable sets, the finiteness of the inradius of an open set turns out to be alone a necessary and sufficient condition for the Poincarè inequality to hold. In the planar case, this condition is sufficient for open sets with prescribed topology. A similar characterization is still valid in arbitrary dimension and for a general open set, when the points are removable sets, by using the capacitary inradius, in place of the usual one. In the first two situations, we prove a geometric lower bound on the sharp Poincaré-Sobolev embedding constants associated to an open set, in terms of its inradius. In the sub-conformal case, we prove a two--sided estimate on the sharp Poincaré-Sobolev constants of a general open set, in terms of its capacitary inradius. This extends a result by Maz’ya and Shubin, originally proved for the case p=2.

Questa tesi è dedicata a dimostrare caratterizzazioni della validità di disuguaglianze di tipo Poincaré su insiemi aperti generali nello spazio euclideo. Nel caso superconforme, ovvero quando i punti non sono insiemi rimovibili, la finitezza dell’inradius di un insieme aperto risulta essere da sola una condizione necessaria e sufficiente affinché la disuguaglianza di Poincaré sia ​​valida. Nel caso planare, questa condizione è sufficiente per insiemi aperti con topologia prescritta. Una caratterizzazione simile è ancora valida in dimensione arbitraria e per un insieme aperto generale, quando i punti sono insiemi rimovibili, utilizzando l’inradius capacitario, al posto di quello usuale. Nelle prime due situazioni, dimostriamo una stima dal basso geometrica sulle costanti di immersione di Poincaré-Sobolev ottime associate a un insieme aperto, in termini del suo raggio interno. Nel caso subconforme, dimostriamo una stima bilatera sulle costanti ottime di Poincaré-Sobolev di un insieme aperto generale, in termini del suo inradius capacitario. Ciò estende un risultato di Maz’ya e Shubin, originariamente dimostrato per il caso p=2.