A journey through structured populations and the numerics for their linear stability analysis

In this thesis, we develop numerical methods for the linear stability analysis of some classes of deterministic continuously structured population models. For these models, when the aim is to assess the local stability of equilibria or other invariants, one is typically led to investigate the spectrum of linear(ized) infinite-dimensional operators. This target can rarely be achieved analytically, and numerical methods are often required in practical computations. The fundamental idea underlying the approximation schemes presented in this thesis is that of discretizing the relevant infinite-dimensional operators through matrices obtained by suitable projection techniques based on (pseudo)spectral methods. The main advantage of these methods is that their convergence order depends on the smoothness of the involved functions. In particular, infinite order of convergence is attained when the approximated functions are infinitely times differentiable. The first part of the thesis is devoted to the numerical computation of the reproduction numbers, which for the case of continuously structured population models are characterized as the spectral radius of infinite-dimensional operators [DIEKMANN, HEESTERBEEK, METZ, J. Math. Biol. 7, 1990]. In this thesis, we consider three classes of models. First, we consider a large class of age-structured population models with finite age-span formulated as Integro-Partial Differential Equations (IPDEs) with nonlocal boundary conditions, for which we extend the method presented [BREDA, FLORIAN, RIPOLL, VERMIGLIO, J. Comput. Appl. Math. 384, 2021] to allow for complete flexibility in the computation of the reproduction numbers. Then, we consider population models formulated as Ordinary Differential Equations (ODEs) with time periodic coefficients [BACAER, GUERNAOUI, J. Math. Biol. 69, 2006]. Here, the time-periodicity introduces a structure in the population which is the instant of time in the period interval at which an individual is generated/infected. Lastly, we consider epidemic models with mass testing strategies, where at fixed intervals of times, the infected individuals are tested and isolated if positive. The class of interest is that of SIR and SEIR models formulated as impulsive ODEs. Here, to compute the (control) reproduction number, one must take into account the heterogeneity introduced by the mass testing events, which is the time elapsed since last testing. The relevant operators are discretized by suitable pseudospectral collocation methods, and the reproduction numbers are approximated through the spectral radius of matrices. The second part of the thesis is devoted to the study of numerical methods for the stability analysis of linear age-structured population models with finite age-span, formulated as IPDEs with nonlocal boundary conditions, in which the age-variable is coupled with an additional structure. First, we consider models where the additional structure is a spatial variable, and the spread of individuals is modeled by a nonlocal convolution operator [KANG, RUAN, XI, J. Dyn. Diff. Eq. 34, 2022]. Secondly, we consider models with an additional age variable [KANG, RUAN, XI, Ann. di Mat. Pura 200, 2021]. For both of these classes of models, the stability of the null equilibrium is determined by the spectrum of the infinitesimal generator associated to the solution semigroup. To approximate those spectra, we discretize the relevant generators through combinations of pseudospectral and spectral methods. The methods are presented alongside convergence proofs and numerical results attesting the validity of the approaches. An additional novelty of this thesis is the use of interpolation error bounds in L1-spaces for the convergence proofs, which is motivated by the biological interpretation attached to the L1 norm in the context of structured populations.

In questa tesi sviluppiamo metodi numerici per l'analisi della stabilità lineare di alcune classi di modelli deterministici di popolazione con struttura continua. Per questi modelli, quando lo scopo è valutare la stabilità locale degli equilibri o di altri invarianti, si è tipicamente portati a indagare lo spettro di operatori linear(izzati) infinito-dimensionali. Questo obiettivo può raramente essere raggiunto analiticamente e i metodi numerici sono spesso necessari. L'idea alla base dei metodi presentati in questa tesi è quella di discretizzare tali operatori infinito-dimensionali attraverso matrici ottenute tramite tecniche di proiezione basate su metodi (pseudo)spettrali. Il vantaggio di questi metodi è che il loro ordine di convergenza dipende dalla regolarità delle funzioni coinvolte. In particolare, si ottiene ordine infinito quando le funzioni approssimate sono differenziabili infinite volte. La prima parte della tesi è dedicata all'approssimazione dei numeri di riproduzione, che nel caso di modelli di popolazione con struttura continua sono caratterizzati come raggio spettrale di operatori infinito-dimensionali [DIEKMANN, HEESTERBEEK, METZ, J. Math. Biol. 7, 1990]. In questa tesi consideriamo tre classi di modelli. Primo, consideriamo un'ampia classe di modelli di popolazione strutturati per età, con intervallo d'età finito e formulati come equazioni Integro-Differenziali alle Derivate Parziali (IPDE) con condizioni al bordo non locali, per i quali estendiamo il metodo presentato in [BREDA, FLORIAN, RIPOLL, VERMIGLIO, J. Comput. Appl. Matematica. 384, 2021] per consentire una completa flessibilità nel calcolo dei numeri di riproduzione. Dopodiché consideriamo modelli di popolazione formulati come Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE) con coefficienti periodici [BACAER, GUERNAOUI, J. Math. Biol. 69, 2006]. Qui la periodicità introduce una struttura nella popolazione che è l'istante di tempo nell'intervallo del periodo in cui un individuo viene generato/infettato. Infine, consideriamo modelli epidemici con strategie di test di massa, dove a intervalli di tempo fissati gli individui infetti vengono testati e isolati se positivi. La classe di interesse è quella dei modelli SIR e SEIR formulati come ODE impulsive. Qui, per calcolare il numero di riproduzione (di controllo), è necessario tenere conto dell'eterogeneità introdotta dagli eventi di test di massa, che è il tempo trascorso dall'ultimo test. Gli operatori risultanti vengono discretizzati mediante opportuni metodi di collocazione pseudospettrale, ed i numeri di riproduzione vengono approssimati attraverso il raggio spettrale delle matrici. La seconda parte della tesi è dedicata allo studio di metodi numerici per l'analisi di stabilità di modelli di popolazione lineari strutturati per età con intervallo di età finito, formulati come IPDE con condizioni al contorno non locali, in cui la variabile età è accoppiata con una struttura aggiuntiva. Prima, consideriamo modelli in cui la struttura aggiuntiva è una variabile spaziale e la diffusione degli individui è modellata da un operatore di convoluzione non locale [KANG, RUAN, XI, J. Dyn. Diff. Eq. 34, 2022]. Dopo, consideriamo modelli con una variabile d'età aggiuntiva [KANG, RUAN, XI, Ann. di Mat. Pura 200, 2021]. Per entrambe queste classi di modelli, la stabilità dell'equilibrio nullo è determinata dallo spettro del generatore infinitesimale associato al semigruppo soluzione. Per approssimare questi spettri, discretizziamo i generatori associati tramite combinazioni di metodi pseudospettrali e spettrali. I metodi sono presentati insieme a dimostrazioni di convergenza e risultati numerici che attestano la validità degli approcci. Un'ulteriore novità di questa tesi è l'uso di errori di interpolazione in spazi L1 per le prove di convergenza, i quali sono motivati dall'interpretazione biologica associata alla norma L1 nel contesto di popolazioni strutturate.