The Beris-Edwards and the Ericksen-Leslie Models for Nematic Liquid Crystals

I cristalli liquidi sono uno stato della materia intermedio tra quello solido e quello liquido. Tali materiali sono largamente utilizzati al giorno d’oggi per via delle loro proprietà ottiche, della loro sensibilità ai campi elettrici e magnetici e per via delle loro applicazioni nel campo farmaceutico. I modelli matematici che andiamo a studiare sono il modello di Ericksen-Leslie e il modello di Beris-Edwards. Per il primo dimostriamo l’esistenza locale e globale per dati piccoli con decadimento nel tempo per il caso libero, nel semispazio e nei domini esterni sufficientemente regolari tramite stime energetiche. Per quanto riguarda il modello di Beris-Edwards, consideriamo inizialmente il caso di assenza di velocità in 3 dimensioni. Dal punto di vista stazionario, dimostriamo l’esistenza di un punto critico per il funzionale associato che minimizzi il valore dell’energia tra tutti i punti critici non nulli (la cosiddetta Least Energy Solution). Dal punto di vista evolutivo, dimostriamo esistenza locale e globale con dati piccoli per alcuni tipi di non-linearità tramite stime lineari energetiche e di tipo Strichartz. Infine, dimostriamo la stima (p,q) massimale per le soluzioni del problema evolutivo lineare nel semispazio N-dimensionale tramite la R-solubilità del problema risolvente associato. Liquid crystals are a state of matter intermediate between the solid state and the liquid state. Nowadays, these materials are largely used thanks to their optical properties, their sensibility to the electric and the magnetic fields and their applications to the pharmaceutical area. The mathematical models we study are the Ericksen-Leslie and the Beris-Edwards models. For the Ericksen-Leslie model we prove local well-posedness and the global existence and decay in time for small initial data in the free case, in the half-space and in exterior domains sufficiently smooth by energy estimates. For what concerns the Beris-Edwards model, we focus firstly on the case of absence of flow in 3 dimensions. From the stationary point of view, we prove the existence of a critical point for the related functional which minimizes the energy of all the critical points different from zero (the so-called Least Energy Solution). For what concerns the time-dependent system, we prove local and global existence with small initial data for a certain range of power nonlinearities by Strichartz estimates. Finally, we prove the maximal (p,q) regularity for the linear time-dependent general Beris-Edwards model in the N-dimensional half-space by the R-solvability of the correspondent resolvent system.