Objective 1D beam FE-formulations for the analysis of deployable pantographic structures

The thesis is dedicated to the formulation of high-order beam finite elements suitable for the static analysis of the deployable structures for which their deployment is based on an elastic and/or rigid pantographic mechanisms. These systems are subjected to very high deformations and large rigid rotations. For this reason the proposed beam finite element formulations must be satisfy objectivity/strain-invariance requirement in order to accurately model both the deformative and rigid components involved in the change of configuration of these structures. The path-independence property is also important to obtain consistent results in the analyses and as check parameter for the formulations. These finite elements are based on both the Kirchhoff-Love and the Cosserat beam models and have been presented in the works [1] and [2], respectively. The interpolations of the kinematic descriptors are based on the De Casteljau algorithm formulated on Lie groups. For the placement of centroid curve a Bézier representation is used for both models. It can be seen as the application of the De Casteljau algorithm in R3. The objectivity requirements of both formulations is achieved by using the spherical linear interpolation (SLERP) and its high-order generalization to interpolate the rotation field. This generalization, called Spherical Bézier interpolation, has been introduced in [2] as application of the De Casteljau algorithm in SO(3), and can be devoloped for whatever degree. The deployment pantographic mechanisms are realized connecting beam element by means of pivot (or cylindrical hinge) joints. The beam FE-formulations are built in order to account implicitly the pivot connection making them suitable to simulate these mechanisms. In this way the number of the degrees of freedom of the model does not increase. Furthermore, these FE-formulations can be extended in order to consider another type of joints, as the Hooke’s one. In this thesis only the Kirchhoff-Love formulation, as in [3] have been considered accounting the pivot connection. Both the proposed FE-formulations can be generalized to the Iso-Geometirc Analysis (IGA).

La tesi è dedicata alla formulazione di elementi finiti travi di grado elevato, adatti all'analisi statica di strutture a configurazione variabile (deployable structures) la cui apertura si basa su meccanismi pantografici elastici e/o rigidi. Questi sistemi sono soggetti a deformazioni molto elevate e a grandi rotazioni rigide. Per questo motivo, le formulazioni proposte devono soddisfare il requisito di oggettività/invarianza delle deformazioni, al fine di modellare accuratamente sia le componenti deformative sia quelle rigide coinvolte nel cambiamento di configurazione di tali strutture. La proprietà di indipendenza dal percorso (path-independence) è inoltre importante sia per ottenere risultati coerenti nelle analisi e sia come parametro di verifica delle due formulazioni. Questi elementi finiti si basano sui modelli di trave di Kirchhoff-Love e di Cosserat, presentati rispettivamente nei lavori [1] e [2]. Le interpolazioni dei descrittori cinematici sono costruite sfruttando l'algoritmo di De Casteljau formulato sui gruppi di Lie. Per il posizionamento della curva del baricentro della trave viene utilizzata una rappresentazione di Bézier per entrambi i modelli. Questa rappresentazione può essere vista come l'applicazione dell'algoritmo di De Casteljau in R^3. Il requisito di oggettività per entrambe le formulazioni è soddisfatto mediante l'interpolazione sferica lineare (SLERP) e la sua generalizzazione di grado superiore per interpolare il campo di rotazione delle sezioni trasversali lungo la trave. Questa generalizzazione, chiamata interpolazione sferica di Bézier, è stata introdotta in [2] come applicazione dell'algoritmo di De Casteljau in SO(3) e può essere sviluppata per qualsiasi grado. I meccanismi pantografici di apertura sono realizzati collegando gli elementi trave mediante cerniere cilindriche (o pivot). Le formulazioni agli elementi finiti sono costruite per tenere conto implicitamente di questo tipo di connessione, rendendole adatte a simulare tali meccanismi pantografici. In questo modo, il numero dei gradi di libertà in entrambi i modelli non aumenta. Inoltre, queste formulazioni possono essere estese per considerare altri tipi di giunti, come quelli di Hooke. In questa tesi è stata considerata la formulazione di Kirchhoff-Love, come in [3], tenendo conto della connessione tra le travi fatta tramite pivot. Entrambe le formulazioni proposte possono essere generalizzate all'analisi isogeometrica (IGA).