Stochastic Problems for Turbulent Fluids in Domains with Boundaries

This dissertation explores various related aspects on how stochasticity may influence the analysis of turbulent 2D fluids in domains with boundaries. Boundaries can exert a direct influence, affecting the boundary conditions within the vorticity and velocity equations, or they can induce more indirect effects by introducing the instabilities generated by boundaries in the system and subsequently considering the properties of this modified model. These two lines of research are both considered in this work.Regarding the first aspect, we initially delve into the global well-posedness and interior regularity of the Navier-Stokes equations with stochastic boundary conditions. The model employed provides an idealization of fluid velocity in oceanography, where our domain represents a vertical slice of the ocean. The noise, white in time and colored in space, captures the physical laws governing the atmosphere-ocean interface, representing the balance of shear stress from the ocean and horizontal wind forces. This result is the first example of global well-posedness for a fluid dynamical system subjected to boundary noise that is white in time. Secondly, we analyze the convergence of stochastic point vortex dynamics toward fluid flux in a bounded domain with no-slip boundary conditions. It is well-known that no-slip boundary conditions at the velocity level correspond to non-homogeneous Neumann-type boundary conditions at the vorticity level. The generation of vorticity at the boundary exhibits nonlinear and nonlocal dependence on the vorticity itself. Although the correct analysis of vorticity equations remains an open problem, we present a sequence of interacting reflecting diffusions converging to the solution of the vorticity equation subject to a given Neumann boundary conditions in a smooth, bounded convex domain. Despite differing from the boundary conditions encountered in formulating the Navier-Stokes equations with no-slip boundaries, the introduced Neumann boundary condition serves as a valuable approximation, particularly locally in time. This analysis is ultimately related to providing a Lagrangian framework for understanding properties of the boundary layer and the generation of vorticity at boundaries.In the second line of research, we address the often-overlooked phenomenon of boundary roughness in the mathematical description of fluid dynamical models. This leads, in a suitable scaling limit, to the introduction of a Gaussian source of randomness diffused inside the fluid domain in fluid dynamic equations. Consequently, a natural question arises regarding the analysis of such modified systems. While their well-posedness is a standard fact under quite general assumptions on the regularity of the noise, we provide several results on the analysis of the inviscid limit, considering different models for turbulent fluids (i.e., Navier-Stokes equations and Second-Grade fluid equations) with noise white in time, colored in space, scaling according to the viscosity. After proving the validity of the inviscid limit under natural assumptions compared to deterministic cases (utilizing a Kato-type criterion for the Navier-Stokes equations and a specific scaling between the elasticity and viscosity of the model for the second-grade fluid equations), we analyze the probability of significant fluctuations in the zero noise-zero viscosity limit. While the result concerning the Navier-Stokes equations depends on a Kato-type condition stronger than that assumed for simple convergence, we provide an explicit example where this condition is satisfied. This analysis is ultimately related to providing an Eulerian framework for understanding some properties of the boundary layer and the generation of vorticity at boundaries.

Questa tesi esplora vari aspetti su come l'analisi stocastica può aiutare nello studio del comportamento di fluidi turbolenti 2D in domini con bordo. Il bordo può avere un effetto diretto sul comportamento del fluido, influenzando le condizioni al bordo nelle equazioni del moto in forma di velocità o vorticità, o può avere un effetto indirreto introducendo le instabilità generate dal bordo nel sistema e considerando successivamente le proprietà di questo modello. Entrambe queste linee di ricerca sono seguite in questo lavoro.Riguardo il primo aspetto, inizialmente ci interessiamo al problema della buona positura globale e della regolarità interna delle equazioni di Navier-Stokes con condizioni al bordo stocastiche. Il modello considerato rappresentà un'idealizzazione utilizzata in oceanografia, il dominio è una striscia verticale dell'oceano. Il rumore, bianco in tempo e colorato in spazio, cattura le leggi fisiche all'interafaccia tra l'atmosfera e l'oceano e rappresenta il bilancio tra le forze di taglio tra l'oceano e i venti. Questo resultato è il primo esempio di buona positura globale per un sistema fluidodinamico soggetto a condizioni al bordo stocastiche bianche in tempo. Successivamente analizziamo la convergenza di un sistema stocastico di punti di vorticità alla dinamica di un fluido soggetto a condizioni al bordo di non scorrimento. È ben noto che le condizioni al bordo di non scorrimento per le equazioni del moto del fluido in forma di velocità corrispondono a delle condizioni al bordo di tipo Neumann non omogenee per le equazioni del moto fluido in forma di vorticità. La generazione di vorticità al bordo dipende in modo non lineare e non locale dalla vorticità del fluido stesso. Sebbene la completa analisi di questo fenomeno rimanga un problema aperto, viene introdotta una successione di sistemi di particelle che convergono alla soluzione dell'equazione di Navier-Stokes in forma di vorticità soggetta a una condizione al bordo di tipo Neumann non omogenea. Anche se le condizioni al bordo introdotte non corrispondono completamente a quelle che si otterrebbero riscrivendo le equazioni di Navier-Stokes con condizioni di non scorrimento in forma di vorticità, le condizioni di Neumann utilizzate rappresentano un'approssimazione significativa, in particolare per tempi piccoli. Questa parte della tesi è in ultima analisi connessa a produrre un framework Lagrangiano per capire le proprietà dello strato limite di un fluido e la generazione di vorticità al bordo.Nella seconda linea di ricerca, viene affrontato il problema spesso trascurato della scabrosità del bordo in modelli fluidodinamici. Questo porta, in un opportuno limite di scala, all'introduzione di una forzante stocastica gaussiana nell'equazioni della dinamica del fluido. Da questo segue l'interesse per l'analisi di questo tipo di sistemi. Mentre la loro buona positura è un fatto ben noto sotto ipotesi piuttosto generali sul rumore introdotto, in questo lavoro presentiamo vari risultati sull'analisi del problema del limite inviscido, considerando vari modelli per i fluidi turbolenti (e.g. equazioni di Navier-Stokes e equazioni per fluidi di secondo grado) soggetti a una forzante bianca in tempo e colorata in spazio che viene riscalata insieme alla viscosità. Dopo aver provato la validità del limite inviscido sotto ipotesi simili al caso deterministico (utilizzando un'ipotesi di tipo Kato per le equazioni di Navier-Stokes e un opportuno scaling tra l'elasticità e la viscosità per l'equazione dei fluidi di secondo grado), analizziamo la probabilità di avere fluttuazioni significative nel limite di zero rumore-zero viscosità. Sebbene i risultati sulle equazioni di Navier-Stokes dipendano da un'ipotesi di tipo Kato più forte rispetto a quella richiesta per la semplice convergenza, viene presentato un caso esplicito dove tale ipotesi è soddisfatta. Questa parte della tesi è in ultima analisi connessa a produrre un framework Euleriano per capire le proprietà dello strato limite di un fluido e la generazione di vorticità al bordo.