Some Perspectives on Climate Change through Energy Balance Models Alcune prospettive sul cambiamento climatico mediante energy balance models

This dissertation explores various aspects of an elementary class of climate models called Energy Balance Models (EBMs), in which Earth's temperature evolution is governed by the balance between the radiation absorbed and emitted by the planet. Although EBMs occupy the lowest level in the hierarchy of climate models, they are appreciated for their capacity to provide qualitative insights. Our research, which we summarize below, follows this direction. The first line of our research focuses on understanding and providing rigorous results for a class of 1D-EBMs with a spatially heterogeneous radiation term, including an additive parameter modeling the effect of greenhouse gases (GHGs) in the atmosphere. In particular, we study the long-term behaviour of the model. To analyze the steady-state solutions of the parabolic partial differential equation governing the model, we interpret them as solutions of the Euler-Lagrange equation arising from an associated variational problem. We provide sufficient conditions for the existence of at least three steady-state solutions, corresponding to two local minima and one saddle point of the variational functional. In other words, we identify hypotheses that lead to the coexistence of "cold," "warm," and unstable "intermediate" climates. We then examine the relationship between the value function—representing the minimum of the variational functional across all temperature profiles—and the global mean temperature, both as functions of GHG concentration. In particular, we show how the value function plot provides information about the bifurcation diagram of the model, and vice versa. Furthermore, we prove that the global mean temperature, as a function of GHG concentration, is non-decreasing. The second line of research investigates climate change issues using the same class of 1D-EBMs. To this end, we incorporate local instability effects and additive white noise into the model. The former parameterizes the super-greenhouse effect, a feedback mechanism occurring in the tropics that can lead to a decrease in outgoing radiation. The latter, inspired by Hasselmann's work, accounts for fast weather fluctuations not captured by the slow dynamics of EBMs, enriching the dynamics of Earth's temperature with statistical information. Focusing on the long-term behaviour, we study the invariant measure of the model. In particular, we use its variance as a proxy indicator for the frequency of extreme weather events and demonstrate, through numerical simulations, an increase in variance corresponding to higher GHG concentrations. We conclude the dissertation by presenting the main ideas of ongoing research on a fast-slow system, where the fast component describes solar radiation, while the slow component is a zero-dimensional EBM. In this model, the variance of the resulting stochastic EBM increases with temperature, without invoking local instabilities. Additionally, we show how this model shares many similarities with the stochastic EBM proposed by Hasselmann, which we summarize mathematically in terms of the deterministic limit, fluctuations around the deterministic limit, and large deviations from it.

Questa tesi esplora vari aspetti di una classe elementare di modelli climatici chiamati Energy Balance Models (EBM), in cui l'evoluzione della temperatura terrestre è governata dal bilancio tra la radiazione assorbita ed emessa dal pianeta. Sebbene gli EBM occupino il livello più basso nella gerarchia dei modelli climatici, sono apprezzati per la loro capacità di fornire risultati qualitativi. La nostra ricerca, che riassumiamo di seguito, segue questa direzione. La prima linea della nostra ricerca si concentra sulla comprensione e sullo sviluppo di risultati rigorosi per una classe di 1D-EBM con un termine di radiazione spazialmente eterogeneo, che include un parametro additivo che modella l'effetto dei gas serra (GHG) nell'atmosfera. In particolare, studiamo il comportamento a lungo termine del modello. Per analizzare le soluzioni allo stato stazionario dell'equazione differenziale parziale parabolica che governa il modello, le interpretiamo come soluzioni dell'equazione di Eulero-Lagrange derivante da un problema variazionale associato. Forniamo condizioni sufficienti per l'esistenza di almeno tre soluzioni stazionarie, corrispondenti a due minimi locali e a un punto di sella del funzionale variazionale. In altre parole, identifichiamo le ipotesi che portano alla coesistenza di climi “freddi”, “caldi” e “intermedi” instabili. Esaminiamo poi la relazione tra la funzione valore, che rappresenta il minimo del funzionale variazionale in tutti i profili di temperatura, e la temperatura media globale, entrambe come funzioni della concentrazione di gas serra. In particolare, mostriamo come il grafico della funzione valore fornisca informazioni sul diagramma di biforcazione del modello e viceversa. Inoltre, dimostriamo che la temperatura media globale, in funzione della concentrazione di gas serra, è non decrescente. La seconda linea di ricerca indaga le problematiche del cambiamento climatico utilizzando la stessa classe di 1D-EBM. A tal fine, incorporiamo nel modello effetti di instabilità locale e rumore bianco additivo. Il primo parametrizza il super-greenhouse effect, un meccanismo di feedback che si verifica ai tropici e che può portare a una diminuzione della radiazione uscente. Il secondo, ispirato al lavoro di Hasselmann, tiene conto delle rapide fluttuazioni meteorologiche non catturate dalle dinamiche lente degli EBM, arricchendo la dinamica della temperatura terrestre con informazioni statistiche. Concentrandoci sul comportamento a lungo termine, studiamo la misura invariante del modello. In particolare, utilizziamo la sua varianza come indicatore proxy della frequenza di eventi meteorologici estremi e dimostriamo, attraverso simulazioni numeriche, un aumento della varianza corrispondente a maggiori concentrazioni di gas serra. Concludiamo la tesi presentando le idee principali di una ricerca attualmente in corso su un sistema fast-slow, dove la componente veloce descrive la radiazione solare, mentre la componente lenta è un EBM a zero dimensionale. In questo modello, la varianza dell'equazione chiusa stocastica per la temperatura, senza invocare instabilità locali. Inoltre, mostriamo come questo modello condivida molte analogie con l'EBM stocastico proposto da Hasselmann, che riassumiamo matematicamente in termini di limite deterministico, fluttuazioni intorno al limite deterministico e grandi deviazioni da esso.