Valutazione analitica del tensore di Eshelby per inclusioni poligonali e poliedrali

Il tensore di Eshelby ed il modello di inclusione introdotti da John Douglas Eshelby nel 1957 hanno trovato innumerevoli applicazioni: nella meccanica della frattura dove l'inclusione àƒ¨ impiegata per modellare cricche e fessure; nella meccanica dei compositi, dove àƒ¨ impiegata per modellare gli elementi di rinforzo; nei problemi di contatto elasto-plastico dove àƒ¨ impiegata per modellare gli strati anelastici; in medicina per modellare tessuti tumorali; nella geomeccanica per modellare camere magmatiche dei vulcani, acquiferi, zone di faglia, etc. Si puàƒ² affermare che il modello di inclusione viene impiegato ogni qualvolta sia presente una disomogeneitàƒÂ  in un mezzo elastico. L'inclusione àƒ¨ un modello matematico il cui dominio coincide con il dominio della disomogeneitàƒÂ  e possiede le stesse proprietàƒÂ  elastiche del mezzo. Inoltre all'interno dell'inclusione àƒ¨ presente una deformazione anelastica, che rappresenta l'interazione tra le proprietàƒÂ  elastiche del mezzo elastico e della disomogeneitàƒÂ , in ossequio al cosiddetto "Principio di Equivalenza di Eshelby". In definitiva il modello di inclusione consente di studiare il problema di un mezzo matrice contenente una disomogeneitàƒÂ  elastica, considerando un mezzo elastico equivalente, caratterizzato dalle sole proprietàƒÂ  elastiche della matrice, nel quale la disomogeneitàƒÂ  elastica viene sostituita da una opportuna autodeformazione il cui valore àƒ¨ valutato in funzione delle proprietàƒÂ  elastiche della matrice e della disomogeneitàƒÂ . In particolare il campo di deformazioni nel mezzo elastico equivalente àƒ¨ legato all'autodeformazione mediante il tensore di Eshelby, il quale ha un'espressione analitica espressa sotto forma di integrale esteso al dominio dell'inclusione. Nel suo lavoro del 1957 Eshelby, calcolàƒ² analiticamente il "tensore di Eshelby" per inclusioni ellissoidali. Questo risultato costituisce uno strumento estremamente duttile ed efficace, infatti cambiando opportunamente il rapporto tra gli assi dell'ellissoide, àƒ¨ possibile approssimare molte figure incontrate nelle applicazioni e ottenere l'espressione esatta del tensore, come nel caso della sfera, dell'ellisse, del cerchio, etc. Con l'obiettivo di estendere l'approccio di Eshelby a disomogeneitàƒÂ  non ellissoidali sono stati sviluppati diversi modelli matematici, ciascuno basato su ipotesi e formulazioni diverse. Tuttavia, tranne casi sporadici, non àƒ¨ stato adeguatamente trattato, e men che mai risolto, il problema delle singolaritàƒÂ  degli integrali. La ricerca condotta nell'ambito della tesi, ha riguardato lo sviluppo di formule analitiche per il calcolo del tensore di Eshelby nel caso di inclusioni poligonali e poliedrali. Inoltre àƒ¨ stato affrontato e risolto il problema delle singolaritàƒÂ  degli integrali, sfruttando una opportuna applicazione della cosiddetta delta di Dirac. Le formule analitiche ottenute sono state implementate in Matlab e sono state validate confrontandole con risultati presenti in letteratura.