Fractional Integral Equations and Applications to Point Interaction Models in Quantum Mechanics

La tesi ਠdedicata all'analisi asintotica di sistemi dinamici governati da equazioni integrali di tipo Abel. In particolare vengono presi in esame due casi: 1) Il comportamento asintotico per tempi finiti della soluzione di un'equazione di Abel di ordine ½. 2) Il comportamento asintotico per tempi infiniti della soluzione di un'equazione integrale frazionaria di ordine ½ in presenza di coefficienti periodici nel tempo. I risultati relativi a queste analisi vengono quindi utilizzati nello studio dello scambio di energia fra spettro continuo e spettro discreto in sistemi quantistici non autonomi generati da operatori Hamiltoniani di interazione puntuale dipendenti dal tempo. Le proprieta` di questi operatori permettono di descrivere tale meccanismo di scambio attraverso un sistema accoppiato di due equazioni integrali di tipo Abel a coefficienti non costanti, riducendo in tal modo i gradi di liberta` effettivi del problema. Come esempi applicativi, in particolare, la tesi propone lo studio del trasferimento sullo spettro discreto dell'energia di una particella quantistica, che sia inizialmente posta in uno stato di scattering e soggetta ad un'interazione puntuale dipendente dal tempo. Sotto opportune ipotesi sullo stato iniziale, si ottiene un risultato di controllabilità  locale di questo processo. Viene inoltre considerato il problema della ionizzazione di una particella quantistica soggetta ad un'interazione puntuale dipendente dal tempo in forma periodica. Sotto opportune ipotesi di †œgenericità †� dell'interazione, si dimostra che la particella, inizialmente posta in uno stato legato, tende asintoticamente ad uno stato libero.