Distance and closeness measures in information spaces

Obiettivo della tesi ਠfornire strumenti teorici per il trattamento di informazione †œincompleta†�. Ciಠviene fatto, da un lato, in un ambito metrico, definendo misure di †œdistanza†� tra oggetti, dall'altro definendo nozioni suggerite dalla logica a pi๠valori (fuzzy ordinamenti, similarità ) che estendono ordinamenti ed equivalenze classici. Le nozioni di †œdistanza†� e †œsimilarità †�, sono duali. Infatti, minore ਠla distanza tra due oggetti, maggiore ਠil loro grado di uguaglianza. Ciಠpuಠessere formalizzato in modo preciso. Riguardo al trattamento dell'informazione, si ਠfatto riferimento agli studi di †œgeometria senza punti†�, iniziati con il filosofo e matematico Whitehead. Tali studi riguardano la possibilità  di fondare la geometria euclidea assumendo come nozione primitiva quella di †œregione†�, considerando, invece, i punti come concetti derivati, definiti tramite opportune successioni di regioni. Nella tesi la nozione di †œregione†� ਠstata utilizzata per rappresentare informazione non completa. Il diametro di una regione rappresenta una sorta di misura della incompletezza dell'informazione: maggiore esso risulta, pi๠imprecisa ਠl'informazione che abbiamo a disposizione. Diminuendo il diametro, diminuisce l'incertezza, fino al †œpunto†� (diametro nullo) che rappresenta informazione completa. Tenendo conto di questa interpretazione e partendo da un approccio metrico alla geometria senza punti, nella tesi si stabilisce un collegamento tra spazi metrici †œsenza punti†� e categorie di fuzzy set, coinvolgendo la nozione di similarity debole. Particolare attenzione si rivolge a spazi con distanze ultrametriche, utilizzate in letteratura in processi di classificazione, e, dualmente, a strutture con similarity con la t-norma del minimo. Generalizzando le usuali distanze, si definiscono strutture con †œdistanze approssimate†�, che estendono gli usuali spazi metrici. Per distanza approssimata si intende una funzione che associa ad ogni coppia di oggetti un intervallo del campo dei numeri reali, intervallo che fornisce il range in cui puಠvariare il valore effettivo della distanza. Di nuovo si lavora su spazi di regioni, che rappresentano ancora l'incompletezza dell'informazione, mentre la †œdistanza-intervallo†� tra due regioni rappresenta una misura approssimata di quanto due pezzi di informazione siano vicini. Sono proposte alcune applicazioni in ambito fuzzy, dando la definizione di distanze approssimate tra fuzzy set in due modi: utilizzando la nozione di tagli di un fuzzy set e la nozione di ipografo di un fuzzy set. Inoltre, tramite la teoria degli interval-set, vengono definite distanze tra rough set. Viene proposta, infine, un'applicazione ad una procedura di clustering agglomerativo gerarchico, mediante un algoritmo che utilizza la distanza approssimata tra cluster. Tra le distanze che verificano assiomi pi๠deboli di quelli delle metriche, l'attenzione ਠstata focalizzata anche su distanze non simmetriche, le quasi-metriche, e sulla nozione duale di fuzzy ordinamenti. In particolare si fa riferimento alla teoria dei punti fissi, sia in ambito metrico che in quello riguardante gli insiemi ordinati. Si considerano applicazioni alla programmazione logica riguardo al problema della ricerca di punti fissi per l'operatore di conseguenza immediata associato ad un programma: dal momento che non sempre i teoremi sui punti fissi in insiemi ordinati sono sufficienti quando si introduce la negazione in un programma, si ricorre, in alcuni casi, a teoremi in ambito metrico. D'altra parte la nozione di fuzzy ordinamento e relativi teoremi di punto fisso, presentati nella tesi, permettono di estendere contemporaneamente sia le nozioni in ambito metrico che quelle per insiemi ordinati. Gli argomenti affrontati nella tesi suggeriscono diversi interessanti sviluppi futuri, sia da un punto di vista teorico che dal punto di vista delle applicazioni delle nozioni proposte. Da un punto di vista teorico, ad esempio, la dualità  tra nozioni in ambito metrico e nozioni in ambito logico suggerisce di considerare similarity-intervallo come duale delle distanze approssimate. Inoltre si sta analizzando la possibilità  di applicare le distanze considerate e le duali fuzzy relazioni in diversi ambiti