Metodi V_0-stabili per la risoluzione di equazioni integrali di Volterra di seconda specie

Negli ultimi anni la simulazione matematica per lo studio di fenomeni del mondo reale stà  assumendo un ruolo sempre pi๠importante per la descrizione e la comprensione dei fenomeni stessi. Molti problemi di evoluzione con memoria di interesse nelle scienze applicate, quali ad esempio dinamica delle popolazioni, diffusione di epidemie, reti neurali, cinetica di assorbimento, reazioni-diffusioni in piccole cellule, si modellizzano mediante equazioni integrali di Volterra (VIEs) di seconda. A causa della loro complessità , per la maggior parte di questi modelli ਠmolto importante disporre di metodi numerici ad alte prestazioni che consentono di ottenere soluzioni accurate in un tempo ragionevole rispetto all'evoluzione del processo e che mantengono, per quanto ਠpossibile, le proprietà  qualitative della soluzione vera. Inoltre, proprio il loro carattere ereditario ne rende estremamente complicato sia lo studio teorico che i processi di risoluzione. Sebbene la conoscenza degli aspetti teorici delle VIEs si ਠnotevolmente estesa e contemporaneamente sono stati sviluppati numerosi metodi numerici per la loro risoluzione, pochi sono i metodi ad oggi esistenti accurati ed altamente stabili. In particolare, visto lo stretto legame con la teoria relativa ai metodi numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs), i principali risultati presenti in letteratura relativi allo studio della stabilità  numerica di metodi per VIEs riguardano in primo luogo la studio della A-stabilità , ovvero l'analisi dell'incondizionata stabilità  rispetto all'equazione test base; resta invece solo parzialmente esplorato il campo della V_0-stabilità , ovvero dell'incondizionata stabilità  numerica rispetto all'equazione test di convoluzione. Ciಠਠdovuto sostanzialmente al fatto che, per un metodo numerico per VIEs, la V_0-stabilità  risulta essere una richiesta molto forte. Infatti fino ad oggi, solo pochi metodi V_0-stabili, al pi๠di ordine due, sono presenti in letteratura. Obiettivo della tesi ਠdeterminare metodi numerici di ordine p maggiore di due V_0-stabili, i metodi in esame sono i metodi di tipo Runge-Kutta per la risoluzione numerica di equazioni integrali di Volterra di seconda specie ed in particolare la classe dei metodi di tipo Pouzet (PVRK) e di tipo Bel'tyukov (BVRK). La scelta di questa classe di metodi ਠstata fatta perchਠpur essendo già  note le proprietà  teoriche di convergenza e di consistenza nessun risultato generale sull'esistenza di metodi VRK V_0-stabili ਠpresente in letteratura. Infatti solo pochi metodi V_0-stabili di ordine al pi๠due sono stati presentati in letteratura e tutti appartengono alla classe dei metodi di tipo Runge-Kutta Bel'tyukov. Le principali problematiche che si incontrano nella ricerca di metodi di ordine alto e incondizionatamente stabili rispetto all'equazione test di convoluzione riguardano principalmente la non facile †œgestione†� delle numerose equazioni non lineari che scaturiscono dall'imposizione delle condizioni d'ordine e l'individuazione di un criterio generale per la determinazione della V_0-stabilità  all'interno di una famiglia di metodi. In particolare, vista la impossibilità  di stabilire o negare l'esistenza di metodi V_0-stabili all'interno di una classe di metodi, dovuta alla dimensione delle matrici coinvolte ed al crescente numero di condizioni d'ordine non lineari per p > 2, abbiamo rilevato la necessità  di ottenere informazioni sull'ampiezza delle regioni di stabilità  dei metodi rispetto all'equazione test di convoluzione. Allo scopo di soddisfare tale esigenza e di avere la possibilità  di determinare metodi aventi regioni di stabilità  ampie ed illimitate, ਠstata introdotta in questa tesi la nuova definizione di V_0 (alpha)-stabilità . Grazie al concetto di V_0(alpha)-stabilità  e all'adattamento alle VIEs della tecnica del Boundary Locus già  esistente per le Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs) ਠstato progettato ed implementato un algoritmo basato su un nuovo metodo per la costruzione di metodi V_0(alpha) e V_0-stabili. Tale metodo, basato sull'introduzione di una funzione per l'approssimazione dell'angolo alpha di V_0(alpha)-stabilità , e sull'utilizzo dell'algoritmo di ottimizzazione di Nelder-Mead, consente di determinare una lista di metodi †œcandidati†� ad essere V_0-stabili. Successivamente, a ciascun elemento della lista viene applicato il criterio di Routh-Hurwitz per la verifica esatta della incondizionata stabilità  del metodo. Abbiamo analizzando i metodi di tipo Runge-Kutta Pouzet e Bel'tyukov effettuando numerose prove con ordine minore o uguale di quattro con diversi valori degli stadi m e scegliendo differenti strutture di matrici, quasi diagonali o triangolari inferiori, al fine di ottenere metodi V_0-stabili di ordine maggiore di due e computazionalmente efficienti. Nel caso della sottoclasse dei metodi di tipo Pouzet non sono stati determinati metodi V_0-stabili a conferma di quanto congetturato da Brunner et al. ma sono stati determinati metodi V_0(alpha)-stabili con angolo massimo alpha=82,36° di ordine due. Nel caso della sottoclasse dei metodi di tipo Bel'tyukov sono stati determinati i primi esempi presenti in letteratura di metodi numerici V_0-stabili di ordine tre e quattro (rispettivamente su quattro e otto stadi) e metodi con angoli di V_0(alpha)-stabilità  prossimi a 90°. Al fine di verificare la convergenza e l'ordine dei nuovi metodi V_0-stabili determinati sono stati effettuati dei test numerici utilizzando problemi test lineari e non lineari presi in letteratura. Sviluppi futuri riguarderanno la determinazione di metodi VRK di ordine superiore a quattro, lo sviluppo di un software a passo variabile e la generalizzazione del metodo per la costruzione di altre classi di metodi.