Theory and application of weakly nonlinear dynamics governing equations inference

Research on nonlinear dynamical system identification has traditionally relied on presumed forms of governing equations (theoretical or empirical) to identify unknown parameters and understand structural properties. However, real-world engineering systems involve complex, unknown nonlinear triggers, making deviations between assumed models and actual systems inevitable, which consequently leads to identification errors. In recent years, data-driven scientific discovery methods have flourished. Represented by techniques such as sparse regression and symbolic regression, these methods learn the analytical forms of governing equations directly from data, bypassing the systematic biases inherent in presumed models. Although numerous data-driven inference methods have been developed for strongly nonlinear dynamical systems (e.g., chaotic Lorenz systems, turbulence, and complex networks), they have rarely addressed the weakly nonlinear dynamics that universally exist across diverse engineering systems. Weakly nonlinear oscillations are ubiquitous in engineering systems, spanning macro-scale celestial orbital dynamics, meso-scale structural fluid-induced vibrations, and micro-scale Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS). Unlike strongly nonlinear systems, a weakly nonlinear system is a quasi-linear oscillatory system absolutely dominated by inertial terms, accompanied by weak nonlinear effects (such as nonlinear damping, perturbations, anharmonic potentials, or weak couplings). Although these weak nonlinearities are orders of magnitude smaller than the inertial terms, they fundamentally govern the system's dynamical behaviors and properties, including long-term evolution, stability, and frequency response characteristics. Nevertheless, existing data-driven equation discovery methods, which inherently seek parsimonious mathematical expressions to fit governing equations, naturally neglect or misinterpret these weak nonlinear effects. More challengingly, when the intensity of the weak nonlinearity falls below the observation noise level, identification algorithms struggle even more to distinguish them. Based on nonlinear dynamical approximation frameworks and scientific knowledge discovery methods, this dissertation proposes a data-driven theoretical framework for inferring weakly nonlinear dynamical mechanisms. Its effectiveness on weakly nonlinear systems is systematically demonstrated through numerical benchmarks, noise robustness examinations, and algorithmic performance comparisons, followed by comprehensive applications to typical real-world engineering systems in celestial mechanics, structural mechanics, and fluid-structure interaction mechanics. The main research contents are as follows: (1) \textbf{Proposing a governing equation identification theory for single-frequency autonomous weakly nonlinear oscillators based on slow evolution.} First, the dual time-scale characteristics of weakly nonlinear oscillations are analyzed. Utilizing the classical method of averaging, a theoretical mapping between weak nonlinear effects and the slow evolution processes of the system (i.e., amplitude and phase) is established. Furthermore, the mathematical principles of equation identification for weakly nonlinear systems are derived. By shifting the objective from fitting instantaneous differential equations or vibration trajectories to directly fitting the slow evolution processes, the identifiability of weak nonlinearities is significantly enhanced. The validity of this method is demonstrated through four low-dimensional canonical oscillators (damped harmonic, Van der Pol, Duffing, and weakly coupled oscillators) and two high-dimensional nonlinear oscillator chains (Klein-Gordon and Fermi-Pasta-Ulam). (2) \textbf{Extending the equation identification theory from single-frequency autonomous systems to multi-frequency non-autonomous systems.} The necessity of considering multi-frequency responses in forced vibrations, as opposed to free vibrations, is demonstrated. The concept of slow evolution is generalized from the single-frequency amplitude and phase to the various harmonic components of multi-frequency vibrations. Leveraging the generalized harmonic balance (GHB) method, the mapping relationship between weak nonlinear effects and generalized slow evolution is constructed, culminating in a two-stage optimization method for multi-equation joint sparse identification. The effectiveness of extending the equation inference method to multi-frequency non-autonomous systems is validated using a nonlinear oscillator featuring coupled quadratic and cubic stiffness. (3) \textbf{Conducting comparative and reliability studies of the slow-evolution-based weakly nonlinear identification method.} Noise robustness is systematically evaluated using the Van Pol oscillator as a prototype. Noisy observation datasets are constructed considering 3 types of colored noise and 10 different signal-to-noise ratios (SNRs). The noise tolerance boundaries of the method are assessed based on the success rate of equation form inference, relative coefficient error, and steady-state amplitude reconstruction error. To elucidate its superiority over existing equation inference algorithms, the proposed method is conceptually compared with ODE fitting and trajectory fitting to clarify the identification mechanisms of weak nonlinear effects. Subsequently, 90 standard test sets are generated considering varying intensities of weak nonlinearity and observation noise, with 100 independent training trials per set. Quantitative comparisons against 8 state-of-the-art equation inference methods prove that the proposed method vastly expands the identifiability boundaries of weak nonlinearities while maintaining exceptional computational efficiency. (4) \textbf{Inferring the governing equations of real-world single-frequency autonomous weakly nonlinear vibratory systems.} First, the weakly nonlinear inference theory is applied to identify the governing equations of space station orbital dynamics. Utilizing one week of ephemeris trajectory data independently collected from the China Space Station (CSS) and the International Space Station (ISS), the framework successfully inferred identical analytical equation forms for both stations. The models successfully extrapolated and predicted operational trajectories across different time spans over a year, matching actual observations excellently. Furthermore, the governing equations for the vortex-induced vibration (VIV) of the Xihoumen Bridge were inferred. Based on a 1:20 large-scale sectional aeroelastic wind tunnel test, time-series data of sectional VIV and free vibrations under different wind speeds and initial conditions were collected. A unified governing equation applicable across different wind speeds was successfully inferred, enabling the accurate extrapolated prediction of vibration responses under diverse initial states. (5) \textbf{Predicting the dynamical behaviors of real-world multi-frequency non-autonomous weakly nonlinear systems.} The weakly nonlinear inference theory is further advanced to learn governing equations and predict Frequency Response Curves (FRCs) in structural dynamics with multi-frequency responses. High-dimensional vibratory responses of typical MEMS structures are collected via numerical simulations, and Proper Orthogonal Decomposition (POD) is utilized to extract their linear modes. Using structural vibration responses under a single excitation condition as training data, the framework autonomously learns the structural weakly nonlinear vibration equations and load models. Subsequently, numerical continuation methods are employed to calculate the steady-state vibration response amplitudes under different load parameters (e.g., external excitation frequency and amplitude), achieving precise extrapolated predictions of structural nonlinear dynamical responses. The method exhibits excellent prediction accuracy for unseen load parameters outside the training data, drastically reducing the data volume requirements for structural dynamic performance modeling to merely 1% of traditional approaches.

La ricerca sull'identificazione di sistemi dinamici non lineari si è tradizionalmente basata su forme ipotizzate di equazioni di governo (teoriche o empiriche) per identificare parametri sconosciuti e comprendere le proprietà strutturali. Tuttavia, i sistemi ingegneristici reali implicano complessi fattori non lineari sconosciuti, il che rende inevitabili le discrepanze tra i modelli ipotizzati e i sistemi reali, con conseguenti errori di identificazione. Negli ultimi anni, i metodi di scoperta scientifica basati sui dati hanno conosciuto una notevole diffusione. Rappresentati da tecniche come la regressione sparsa e la regressione simbolica, questi metodi apprendono le forme analitiche delle equazioni di governo direttamente dai dati, aggirando le distorsioni sistematiche intrinseche ai modelli ipotizzati. Sebbene siano stati sviluppati numerosi metodi di inferenza basati sui dati per sistemi dinamici fortemente non lineari (ad esempio, sistemi caotici di Lorenz, turbolenza e reti complesse), raramente hanno affrontato le dinamiche debolmente non lineari che sono universalmente presenti in diversi sistemi ingegneristici. Le oscillazioni debolmente non lineari sono onnipresenti nei sistemi ingegneristici, spaziando dalla dinamica orbitale celeste su scala macroscopica, alle vibrazioni strutturali indotte dai fluidi su scala mesoscopica, fino ai sistemi microelettromeccanici (MEMS) su scala microscopica. A differenza dei sistemi fortemente non lineari, un sistema debolmente non lineare è un sistema oscillatorio quasi lineare dominato da termini inerziali, accompagnati da deboli effetti non lineari (come smorzamento non lineare, perturbazioni, potenziali anarmonici o accoppiamenti deboli). Sebbene queste deboli non linearità siano di ordini di grandezza inferiori ai termini inerziali, esse governano fondamentalmente i comportamenti e le proprietà dinamiche del sistema, tra cui l'evoluzione a lungo termine, la stabilità e le caratteristiche di risposta in frequenza. Ciononostante, i metodi esistenti di scoperta di equazioni basati sui dati, che per loro natura cercano espressioni matematiche parsimoniose per adattarsi alle equazioni di governo, tendono naturalmente a trascurare o interpretare erroneamente questi deboli effetti non lineari. Ancora più problematico è il fatto che, quando l'intensità della debole non linearità scende al di sotto del livello di rumore di osservazione, gli algoritmi di identificazione faticano ulteriormente a distinguerle. Basandosi su framework di approssimazione dinamica non lineare e metodi di scoperta della conoscenza scientifica, questa tesi propone un framework teorico basato sui dati per l'inferenza di meccanismi dinamici debolmente non lineari. La sua efficacia sui sistemi debolmente non lineari è sistematicamente dimostrata attraverso benchmark numerici, esami di robustezza al rumore e confronti delle prestazioni algoritmiche, seguiti da applicazioni complete a tipici sistemi ingegneristici reali in meccanica celeste, meccanica strutturale e meccanica dell'interazione fluido-struttura. I principali contenuti della ricerca sono i seguenti: (1) Proposta di una teoria di identificazione dell'equazione di governo per oscillatori autonomi debolmente non lineari a frequenza singola basata sull'evoluzione lenta. In primo luogo, vengono analizzate le caratteristiche a doppia scala temporale delle oscillazioni debolmente non lineari. Utilizzando il metodo classico della media, viene stabilita una mappatura teorica tra gli effetti debolmente non lineari e i processi di evoluzione lenta del sistema (ovvero, ampiezza e fase). Inoltre, vengono derivati ​​i principi matematici dell'identificazione di equazioni per sistemi debolmente non lineari. Spostando l'obiettivo dall'adattamento di equazioni differenziali istantanee o traiettorie di vibrazione all'adattamento diretto dei processi di evoluzione lenta, l'identificabilità delle deboli non linearità risulta significativamente migliorata. La validità di questo metodo è dimostrata attraverso quattro oscillatori canonici a bassa dimensionalità (oscillatori armonici smorzati, di Van der Pol, di Duffing e debolmente accoppiati) e due catene di oscillatori non lineari ad alta dimensionalità (Klein-Gordon e Fermi-Pasta-Ulam). (2) Estensione della teoria dell'identificazione di equazioni dai sistemi autonomi a frequenza singola ai sistemi non autonomi a multifrequenza. Viene dimostrata la necessità di considerare le risposte a multifrequenza nelle vibrazioni forzate, in contrapposizione alle vibrazioni libere. Il concetto di evoluzione lenta viene generalizzato dall'ampiezza e dalla fase a frequenza singola alle varie componenti armoniche delle vibrazioni a multifrequenza. Sfruttando il metodo dell'equilibrio armonico generalizzato (GHB), viene costruita la relazione di mappatura tra effetti non lineari deboli ed evoluzione lenta generalizzata, culminando in un metodo di ottimizzazione a due fasi per l'identificazione sparsa congiunta multi-equazione. L'efficacia dell'estensione del metodo di inferenza delle equazioni ai sistemi non autonomi multifrequenza viene convalidata utilizzando un oscillatore non lineare caratterizzato da rigidità quadratica e cubica accoppiate. (3) Conduzione di studi comparativi e di affidabilità del metodo di identificazione debolmente non lineare basato sull'evoluzione lenta. La robustezza al rumore viene valutata sistematicamente utilizzando l'oscillatore di Van Pol come prototipo. I set di dati di osservazione rumorosi vengono costruiti considerando 3 tipi di rumore colorato e 10 diversi rapporti segnale/rumore (SNR). I limiti di tolleranza al rumore del metodo vengono valutati in base al tasso di successo dell'inferenza della forma dell'equazione, all'errore del coefficiente relativo e all'errore di ricostruzione dell'ampiezza a stato stazionario. Per chiarire la sua superiorità rispetto agli algoritmi di inferenza dell'equazione esistenti, il metodo proposto viene concettualmente confrontato con l'adattamento di ODE e l'adattamento di traiettorie per chiarire i meccanismi di identificazione degli effetti debolmente non lineari. Successivamente, vengono generati 90 set di test standard considerando intensità variabili di debolmente non linearità e rumore di osservazione, con 100 prove di addestramento indipendenti per set. I confronti quantitativi con 8 metodi di inferenza dell'equazione all'avanguardia dimostrano che il metodo proposto espande notevolmente i limiti di identificabilità delle debolmente non linearità mantenendo un'eccezionale efficienza computazionale. (4) Deduzione delle equazioni di governo di sistemi vibratori autonomi debolmente non lineari a singola frequenza nel mondo reale. In primo luogo, la teoria dell'inferenza debolmente non lineare viene applicata per identificare le equazioni di governo della dinamica orbitale della stazione spaziale. Utilizzando una settimana di dati di traiettoria effemeridi raccolti indipendentemente dalla Stazione Spaziale Cinese (CSS) e dalla Stazione Spaziale Internazionale (ISS), il framework ha dedotto con successo forme di equazioni analitiche identiche per entrambe le stazioni. I modelli hanno estrapolato e previsto con successo le traiettorie operative in diversi intervalli di tempo nell'arco di un anno, corrispondendo in modo eccellente alle osservazioni reali. Inoltre, sono state dedotte le equazioni di governo per la vibrazione indotta da vortici (VIV) del ponte Xihoumen. Sulla base di un test in galleria del vento aeroelastica sezionale in scala 1:20, sono stati raccolti dati di serie temporali di VIV sezionale e vibrazioni libere in diverse velocità del vento e condizioni iniziali. È stata ricavata con successo un'equazione di governo unificata applicabile a diverse velocità del vento, consentendo la previsione estrapolata accurata delle risposte vibrazionali in diverse condizioni iniziali. (5) Previsione dei comportamenti dinamici di sistemi debolmente non lineari non autonomi multifrequenza reali. La teoria dell'inferenza debolmente non lineare viene ulteriormente sviluppata per apprendere le equazioni di governo e prevedere le curve di risposta in frequenza (FRC) nella dinamica strutturale con risposte multifrequenza. Le risposte vibrazionali ad alta dimensionalità di tipiche strutture MEMS vengono raccolte tramite simulazioni numeriche e la decomposizione ortogonale propria (POD) viene utilizzata per estrarre i loro modi lineari. Utilizzando le risposte vibrazionali strutturali in una singola condizione di eccitazione come dati di addestramento, il framework apprende autonomamente le equazioni vibrazionali debolmente non lineari strutturali e i modelli di carico. Successivamente, vengono impiegati metodi di continuazione numerica per calcolare le ampiezze di risposta vibrazionale allo stato stazionario in presenza di diversi parametri di carico (ad esempio, frequenza e ampiezza dell'eccitazione esterna), ottenendo previsioni estrapolate precise delle risposte dinamiche non lineari strutturali. Il metodo presenta un'eccellente accuratezza predittiva per parametri di carico non visti al di fuori dei dati di addestramento, riducendo drasticamente il volume di dati richiesto per la modellazione delle prestazioni dinamiche strutturali a solo l'1% degli approcci tradizionali.