Waring decompositions via degenerations

The Waring problem was first stated as a number theory problem. As an attempt to find a generalization of Lagrange's four-squares theorem, Waring stated that every number can be decomposed as a sum of 9 cubes, 14 fourth powers, and so on. This question can be extended to homogeneous polynomials, asking when a degree d form f admits a Waring decomposition as a sum of d-th powers of linear forms. Many different questions arise in this context, but our main interest is identifiability. f is identifiable if it admits a unique decomposition. There are classical theorems proving that the general degree d form in n+1 indeterminates is identifiable for specic values of n and d, and it is a challenging task to find all pairs (n; d) with this property. My thesis contains a classification of all such pairs, in particular we prove that the general f is never identifiable, except for the few classically known cases. Identifiability can be investigated also for two or more polynomials, generalizing the notion of simultaneous diagonalization of two square matrices. A computational approach allowed us to find a new example: the general triple of ternary forms of degrees 3, 3 and 4 admits a unique simultaneous decomposition. Moreover, we extend another classical results about ternary forms. A theorem by Roberts states that a conic and a cubic are simultaneously identifiable, and we prove that this is the only generically identifiable case when the difference of the degrees is 1. We also give a lower bound on the number of decompositions. We use a geometric interpretation of generic identifiability in terms of the secant variety of the Veronese variety. One of the advantages of this point of view is that the uniqueness of the decomposition implies the birationality of a certain tangential projection, so in order to disprove identifiability it is enough to show that the degree of the map is greater than 1. For this reason we work with the associated linear system. This topic is widely studied, and we could use different techniques, in particular degenerations. The study of such degenerations led us to consider limits of 0-dimensional subschemes of the projective space. Unlike the standard specialization approach, we find it convenient to consider the collision of some of the fat points. This yields the new problem to fully understand and describe such limit scheme. However, once it is done, we have a new degeneration tool which proves useful to our goal.

Nel tentativo di generalizzare il Teorema dei Quattro Quadrati di Lagrange, nel 1770 Waring enunciò che ogni numero naturale può essere scritto come somma di 9 cubi, di 14 quarte potenze e così via. La stessa domanda si può estendere a polinomi omogenei, chiedendosi se una forma di grado d ammetta una decomposizione di Waring come somma di potenze d-esime di forme lineari. In questo contesto emergono diverse questioni, ma il nostro principale interesse è l'identificabilità. Una forma f è identificabile se ammette un'unica decomposizione di Waring. Ci sono risultati classici che dimostrano che il generico polinomio di grado d in n+1 indeterminate è identificabile per specifici valori di n e d, e l'obiettivo è di trovare tutte le coppie (n; d) con questa proprietà. La mia tesi contiene una classificazione di tali coppie. In particolare dimostriamo che il generico f non è mai identificabile, eccetto per i pochi casi classicamente noti. É possibile anche studiare l'identificabilità di due o più polinomi, generalizzando la nozione di diagonalizzazione simultanea di due matrici quadrate. Un approccio computazionale ci ha permesso di trovare un nuovo esempio: la terna generica di forme ternarie di gradi 3, 3 e 4 ammette un'unica decomposizione simultanea. Inoltre, estendiamo un altro risultato classico sulle forme ternarie. Un teorema di Roberts afferma che una conica e una cubica piana generiche sono simultaneamente identificabili, e dimostriamo che questo è l'unico caso genericamente identificabile quando la differenza dei gradi è 1. Diamo inoltre una stima del numero di decomposizioni. L'identificabilità generica ha un'interpretazione geometrica in termini della varietà secante alla varietà di Veronese. Uno dei vantaggi di questo punto di vista è che l'unicità della decomposizione implica la birazionalità di una certa proiezione tangenziale. Di conseguenza, per dimostrare che la forma generica non è identicabile, è sufficiente mostrare che il grado della mappa è maggiore di 1. Per questa ragione lavoriamo con il sistema lineare associato. Per trattare questo argomento abbiamo applicato tecniche di degenerazione. Lo studio di queste degenerazioni ci ha portato a considerare limiti piatti di sottoschemi 0-dimensionali dello spazio proiettivo. A differenza dell'approccio standard, la nostra tecnica considera la collisione di alcuni dei punti grassi. Questo porta il nuovo problema di comprendere appieno tale limite e di darne una descrizione. Tuttavia, una volta risolto questo problema, abbiamo a disposizione una nuova degenerazione che si dimostra utile per la nostra trattazione.