Supergravity solution classifications through bispinors

This thesis focuses on classification of supergravity solutions in ten and eleven dimensions. By imposing supersymmetry, supergravity reveals a plethora of elegant geometric structures which can be defined from the fermionic supersymmetry parameters. Such geometrical data are called bispinors and are the central topic of this thesis. In the first part we explore how it is possible to exploit bispinors in order to get a more elegant reformulation of background supersymmetry conditions. This discussion is performed in a general context without assuming any factorization of space-time. The bispinor framework allows to interpret many of the new supersymmetry equations as calibration conditions for sources, where a calibration is a differential form which detects branes with minimal energy. We also discuss the connection between calibrations and BPS bound and we provide a definition of central charges in purely gravitational terms. Aside from these formal results, probably the main achievement of the bispinor formalism is that it drastically simplifies the task of classifying supergravity solutions. After discussing how to apply these techniques to two-dimensional AdS and four-dimensional Minkowski backgrounds, we perform a complete classification in both type II supergravity and M-theory of four-dimensional Minkowski solutions preserving N = 2 supersymmetry with SU(2) R-symmetry geometrically realized by a round sphere factor in the internal space. For the various cases of the classification, the problem of finding supersymmetric solutions can be reduced to a system of partial differential equations. These cases often accommodate systems of intersecting branes and higher-dimensional anti-de-Sitter solutions. Moreover we show that, using chains of dualities, all solutions can be generated from one of two master classes: an SU(2)-structure in M-theory and a conformal Calabi–Yau in type IIB. In the last part of the thesis, we show that it is possible to relax some of the bispinor equations and generalizing all the classification to a larger non-supersymmetric context.

Questa tesi si concentra sulla classificazione delle soluzioni di supergravità in dieci e undici dimensioni. Imponendo la supersimmetria, la supergravità rivela una pletora di eleganti strutture geometriche che possono essere definite dai parametri fermionici. Tali dati geometrici sono chiamati bispinori e sono l'argomento centrale di questa tesi. Nella prima parte esploriamo come sia possibile sfruttare i bispori per ottenere una riformulazione più elegante delle condizioni di supersimmetria. Questa discussione si svolge in un contesto generale senza assumere alcuna fattorizzazione dello spazio-tempo. Il formalismo bispinoriale consente inoltre di interpretare molte delle nuove equazioni di supersimmetria come condizioni di calibrazione per le sorgenti, dover per calibrazioni si intende una forma differenziale che identifica le brane con energia minima. Verranno discusse anche la connessione tra calibrazioni e la disuguaglianza BPS e verrà data una definizione delle cariche centrali in termini puramente gravitazionali. A parte questi risultati formali, probabilmente il principale successo del formalismo bispinoriale è che semplifica drasticamente il compito di classificare le soluzioni di supergravità. Dopo aver discusso come applicare queste tecniche nel caso AdS bidimensionale e Minkowski quadridimensionali, eseguiremo una classificazione completa sia della supergravità di tipo II sia della M-teoria delle soluzioni Minkowski quadridimensionali che preservano due supercariche con gruppo di R -simmetria SU(2) realizzato geometricamente da una sfera due-dimensionale nello spazio interno. Per i vari casi della classificazione, il problema di trovare soluzioni supersimmetriche può essere ridotto a un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. Questi casi spesso ospitano sistemi di brane intersecanti e soluzioni anti-de-Sitter di dimensioni superiori. Inoltre mostriamo che, concatendando varie dualità, tutte le soluzioni possono essere generate da una fra due classi principali: una SU(2)-struttura in M-teoria e una Calabi-Yau conforme nel tipo IIB. Nell'ultima parte della tesi, mostriamo che è possibile rilassare alcune delle equazioni bispinoriali e generalizzare tutta la classificazione in un contesto più ampio con supersimmetria rotta.