Fine properties of Cheeger sets and the Prescribed Mean Curvature problem in weakly regular domains

I due principali problemi che studiamo sono il \emph{problema di Cheeger} ed il \emph{problema di curvatura media prescritta}. Il primo consiste nel trovare i sottoinsiemi $E$ di un certo insieme ambiente $\Om$ che realizzano la costante di Cheeger, ovvero tali che \[ \frac{P(E)}{|E|} = \inf \left \{ \frac{P(A)}{|A|} \right\} = h_1(\Om)\,, \] dove l'estremo inferiore \`e fra tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ con volume positivo; il secondo problema \`e l'equazione alle derivate parziali non lineare data da \[ \div(Tu) = \div \left ( \frac{\grad u}{\sqrt{1+|\grad u|^2}} \right) = H\,, \] che consiste nel trovare delle funzioni $u$ il cui grafico abbia curvatura media $H$. A prima vista questi due problemi sembrano indipendenti, ma nel caso speciale di una curvatura media prescritta $H$ costante e positiva in $\Omega$, una condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di soluzioni e all'unicit\`a a meno di traslazioni, \`e che $H$ sia uguale della costante di Cheeger e che $\Omega$ sia un insieme di Cheeger minimale. Da un lato, studiamo una generalizzazione del problema di Cheeger considerando dei volumi con pesi $L^\infty$ e dei perimetri pesati tramite funzioni $g(x, \nu_\Om (x))$ che dipendono sia dal punto $x\in \de \Omega$ sia dalla normale esterna ad $\Om$ nel punto $x$. Mostriamo che gli insiemi minimi connessi ammettono una disuguaglianza di traccia di Poincar\'e e le classiche immersioni di Sobolev. Dall'altro lato, nel caso del problema di Cheeger classico in $2$ dimensioni, mostriamo che, per insiemi $\Om$ semplicemente connessi che non presentano ``colli di bottiglia'', l'insieme di Cheeger massimale $E$ \`e l'unione di tutte le palle contenute in $\Omega$ di raggio $r= h_1^{-1}(\Om)$. Inoltre, vale la inner Cheeger formula $|[\Om]^r = \pi r^2$, dove $[\Om]^r$ indica l'insieme dei punti di $\Om$ che sono a una distanza maggiore o uguale ad $r$ da $\de \Om$. Questo risultato generalizza una propriet\`a finora dimostrata solo per insieme convessi e strisce. Riguardo al problema di curvatura media prescritta, mostriamo esistenza ed unicit\`a di soluzioni per l'equazione soltanto richiedendo che l insieme $\Om$ sia un aperto ``debolmente regolare'', ovvero che soddisfi una disuguaglianza di traccia di Poincar\'e e che il suo perimetro coincida con la misura di Hausdorff $(n-1)$-dimensionale del suo bordo topologico. Sotto tali ipotesi, dimostriamo che l'unicit\`a, a meno di traslazioni, \`e equivalente a diverse altre propriet\`a. In particolare, alla massimalit\`a del dominio, ovvero non esistono soluzioni per la stessa curvatura prescritta $H$ in nessun insieme $\widetilde \Omega$ che contiene strettamente $\Om$; alla criticalit\`a di $\Omega$, ovvero che $\Om$, fra tutti i suoi sottoinsiemi \`e l'unico per cui la disuguaglianza $|\int_A H| \le P(A)$ diventa un'uguaglianza; all'esistenza di una soluzione che risolve il problema di capillarit\`a in un cilindro di sezione $\Om$ con angolo di contatto verticale, ovvero con una condizione al bordo tangenziale, assunta in un senso integrale o di ``traccia debole''. Inoltre, questa condizione al bordo di ``traccia debole'', quando il perimetro di $\Om$ coincide con il contenuto interno di Minkoswki di $\Om$, assume la forma pi\`u forte $Tu(x) \to \nu_\Om (z)$ in misura, per $x\in \Omega$ che tendono a un punto $z$ nella frontiera ``super-ridotta''. Infine, quando la curvatura prescritta $H$ \`e positiva e non identicamente nulla, si osserva di nuovo il legame fra il problema di Cheeger e di curvatura media prescritta, in quanto la criticalit\`a di $\Om$ \`e equivalente a dire che la costante di Cheeger pesata tramite $H$ e con perimetro classico \`e $1$ e che $\Om$ \`e un insieme minimale di Cheeger.

The two main problems we study are the \emph{Cheeger problem} and the \emph{Prescribed Mean Curvature problem}. The former consists in finding the subsets $E$ of a given ambient set $\Omega$ that realize the Cheeger constant, i.e. such that \[ \frac{P(E)}{|E|} = \inf \left \{ \frac{P(A)}{|A|} \right\} = h_1(\Om)\,, \] where the infimum is sought amongst all subsets of $\Om$ with positive volume; the latter is the non-linear partial differential equation given by \[ \div(Tu) = \div\left( \frac{\grad u}{\sqrt{1+|\grad u|^2}} \right) = H\,, \] which consists in finding functions $u$ whose graph has mean curvature $H$. At a first sight these two problems do not seem to be related but in the special case of a positive, constant prescribed mean curvature $H$ on $\Omega$, a necessary and sufficient condition to existence of solutions and uniqueness up to translations is that $H$ equals the Cheeger constant of $\Omega$ and $\Omega$ is a minimal Cheeger set. On one hand, we study a generalization of the Cheeger problem considering volumes with positive, non-vanishing $L^\infty$ weights and perimeters weighted through a function $g(x,\nu_\Omega (x))$ depending both on the point $x \in \de \Omega$ and the outer normal to $\Om$ at $x$. Then, we prove that any connected minimizer admits a Poincar\'e trace inequality, as well as the standard Sobolev embeddings. On the other hand, in the case of the standard Cheeger problem in dimension $2$ we show that, for simply connected sets $\Om$ that satisfy a ``no-bottleneck'' condition, the maximal Cheeger set $E$ equals the union of all balls contained in $\Om$ whose radius is $r=h_1^{-1}(\Om)$. Moreover, the inner Cheeger formula $|[\Om]^r|=\pi r^2$ holds, where $[\Om]^r$ denotes the set of points of $\Om$ at distance greater or equal than $r$ from $\de \Omega$. This result generalizes a property so far proved only for convex sets and planar strips. Concerning the Prescribed Mean Curvature problem, we show existence and uniqueness of solutions of the PMC equation only assuming that $\Omega$ is a \emph{weakly regular} open set, i.e., when $\Omega$ satisfies a Poincar\'e trace inequality and its perimeter agrees with the $(n-1)$-dimensional Hausdorff measure of the topological boundary. Under these assumptions, we show that uniqueness up to vertical translations is equivalent to several other properties. Namely, that the domain is maximal, i.e. no solutions for the same prescribed datum $H$ can exist in any set $\widetilde \Omega$ strictly containing $\Om$; that $\Om$ is critical, i.e. among all its subsets, it is the only one for which the inequality $|\int_A H| \le P(A)$ becomes an equality; that there exists a solution which solves the capillarity problem in a tube of cross-section $\Om$ with vertical contact angle, i.e. that it satisfies a tangential boundary condition in an integral sense or in a ``weak trace'' sense. Moreover, whenever the perimeter of $\Om$ agrees with the inner Minkowski content of $\Om$, this tangential ``weak trace'' condition assumes the stronger form $Tu(x) \to \nu_\Om (z)$ in a measure-theoretic sense, as $x\in \Omega$ approaches a point $z$ in the ``super-reduced boundary''. Finally, when the prescribed datum $H$ is positive and non-vanishing, we observe again the link between the Cheeger problem and the Prescribed Mean Curvature problem, as being critical corresponds to $\Omega$ being a minimal Cheeger set with Cheeger constant $1$, for the Cheeger problem with the standard perimeter and volume weighted through $H$.