Gross-Pitaevskii hydrodynamics in Riemannian manifolds and application in Black Hole cosmology

In this thesis we analyze the physical implications of the geometry of the ambient space in the context of Bose-Einstein condensates (BECs) and possible applications to the field of analogue models in the cosmology of black holes. To this end we derive the hydrodynamic formulation of the Gross-Pitaevskii equation (GPE) in the case of a generic Riemannian manifold. We observe the appearance of a new force, which essentially depends on two parameters: the geometry of the manifold and the first derivatives of the density profile. The stationary conditions are studied in relation to the presence of manifolds with negative scalar curvature. By analyzing these manifolds, an explicit relationship is established between the negatively curved surfaces and the sine-Gordon equation, which results in an approximation of the GPE in the presence of phase coupling. By assuming stationary conditions, we obtain a new type of Einstein field equations and we look for other possible connections between the equations governing condensates and cosmology. For this purpose, we consider relativistic BECs, that are used in the study of the early universe and its expansion, and we obtain Einstein equation in the multi-dimensional case. Then we consider the analogue models used for the study of the formation of black holes and for the calculation of Hawking radiation. Through a linearization process it is possible to derive a Lorentzian acoustic metric for the phase fluctuations; for this purpose, we consider the case of a straight vortex defect with a density profile where the first derivatives have maximum value inside the vortex tube and the geometry of the ambient space becomes relevant. In this situation it turns out that it is possible to determine a Lorentzian metric, and some useful approximations are proposed for its explicit computation. Finally, some concluding remarks are presented on possible future research directions, given by the study of the evolution of isophase surfaces in relativistic cases, and the study of condensates subject to twist.

In questa tesi ci si propone di analizzare le implicazioni fisiche della geometria dello spazio ambiente nel contesto dei condensati di Bose-Einstein (BEC) e le possibili applicazioni nell’ambito dei modelli analogici della cosmologia dei buchi neri. A tal fine si deriva la formulazione idrodinamica dell'equazione di Gross-Pitaevskii (GPE) nel caso di una generica varietà Riemanniana e si osserva la comparsa di una nuova forza, che dipende essenzialmente da due parametri: la geometria della varietà e le derivate prime del profilo di densità. Si studiano le condizioni stazionarie in relazione alla presenza di varietà a curvatura scalare negativa. Analizzando tali varietà si stabilisce una relazione esplicita tra le superfici a curvatura negativa e l'equazione di seno-Gordon, che risulta un'approssimazione della GPE nel caso di accoppiamento di fasi. Assumendo condizioni stazionarie, si ottiene un nuovo tipo di equazioni di Einstein e si è spinti a ricercare altri legami tra le equazioni che governano i condensati e la cosmologia. A tal fine si considerano i BEC relativistici, che vengono utilizzati nello studio del comportamento dell'universo primordiale e della sua espansione. Facendo uso delle conoscenze ottenute nel caso di varietà Riemanniane generiche, otteniamo nuove equazioni di Einstein nel caso multi-dimensionale. Successivamente, si considerano i modelli analogici utilizzati per lo studio della formazione di buchi neri e per il calcolo della radiazione di Hawking. Attraverso un processo di linearizzazione si nota come sia possibile far emergere una metrica acustica Lorentziana che governi il moto delle fluttuazioni della fase; a questo scopo si considera il caso di un vortice dritto che presenta un profilo di densità in cui le derivate prime assumono un valore massimo all’interno del tubo vorticoso e la geometria dello spazio ambiente diventa rilevante. In questa situazione si scopre che è effettivamente possibile far emergere una metrica Lorentziana, e si propongono alcune approssimazioni utili per la sua determinazione esplicita. Infine, vengono presentate alcune osservazioni conclusive su possibili direzioni di ricerca future, quali lo studio dell'evoluzione delle superfici isofase in casi relativistici e lo studio dei condensati sottoposti a torsione.