A-priori estimates for some classes of elliptic problems

The aim of this thesis is to study some aspects of an important tool that is widely employed in mathematical analysis: the a-priori estimates. Indeed, a-priori estimates play a key-role in the theory of partial differential equations and calculus of variations, since they are intimately related to the existence of solutions to a given problem. In this thesis we will present three papers written during the PhD, in which a-priori estimates were widely employed. The first paper, written in collaboration with Prof. S. Mosconi, studies the existence of solutions to the following fourth-order ordinary equation (the Swift-Hohenberg equation), $ u''''+ qu''+ F'(u)= 0$, where $q$ is a real parameter and $F$ is a $C^2$, coercive and quasi-convex function. The second paper, written in collaboration with Prof. P. Winkert, deals with a-priori estimates for an elliptic boundary value problem in which the operators have a critical growth, both in the domain and on the boundary. The third paper, written in collaboration with Prof. S.A. Marano and Prof. A. Moussaoui, studies the existence of solutions for an elliptic systems in the whole space $\R^N$, in which the nonlinearities contain singular terms, i.e., that go to $+\infty$ as the variable approaches zero.

L'obiettivo di questa tesi è di studiare alcuni aspetti di un potente strumento ampiamente utilizzato in analisi matematica, che è rappresentato dalle stime a priori. Infatti, le stime a priori hanno un ruolo chiave nella teoria delle equazioni differenziali a derivate parziali e nel calcolo delle variazioni, perché sono intimamente legate all'esistenza di soluzione per un dato problema. Nella tesi vengono presentati tre lavori scritti durante il periodo del dottorato, in ciascuno dei quali vengono utilizzate le stime a priori. Il primo lavoro, scritto in collaborazione con il Prof. S. Mosconi, riguarda l'esistenza di soluzione per la seguente equazione differenziale ordinaria del quarto ordine (equazione di Swift-Hohenberg), $ u''''+ qu''+ F'(u)= 0$, dove $q$ è un parametro reale e $F$ è una funzione $C^2$, coerciva e quasi-convessa. Il secondo lavoro, scritto in collaborazione con il prof. P. Winkert, riguarda stime a priori per un problema ellittico in cui gli operatori hanno crescita critica, sia nel dominio che sulla frontiera. Il terzo lavoro, scritto in collaborazione con i Prof. S.A. Marano e A. Moussaoui, riguarda l'esistenza di soluzione per un sistema ellittico definito in tutto lo spazio $\R^N$, in cui le nonlinearità contengono termini singolari, cioè che possono tendere a $+\infty$ quando la variabile tende a zero.