Biologically inspired formulation of Optimal Transport Problems

In questa tesi proponiamo un nuovo modello che congetturiamo rappresenti una nuova formulazione del Problema di Trasporto Ottimo, un'area della matematica notevolmente sviluppatasi negli ultimi ultimi anni e che studia come trasportare in maniera efficiente delle risorse da un luogo ad un altro. La formulazione da noi proposta è l'estensione infinito-dimensionale di un modello nato per descrivere il comportamento di una muffa, dal nome Physarum Polycephalum (PP), capace di trovare il cammino minimo tra due fonti di cibo. Nel modello originale, definito su grafi, il corpo di PP viene schematizzata come un tubo attraverso il quale il trasporto di risorse avviene per mezzo di un flusso dato dal prodotto di un gradiente di pressione per un coefficiente di diffusione. Quest'ultimo varia nel tempo in funzione dell'intensità del flusso stesso, descrivendo in tal modo la dinamica adattativa della muffa. L'equivalenza tra tale modello e la soluzione di problemi di trasporto ottimo su grafi è già stata dimostrata. Il formulazione da noi proposta abbandona la struttura finito dimensionale del grafo per passare in un ambiente continuo. Il derivante modello è descritto da un sistema composto da un'equazione ellittica con un coefficiente di diffusione e un'equazione differenziale ordinaria per il coefficiente. In questa tesi proponiamo la congettura che quest'ultimo sistema ammetta un equilibrio stazionario legato alla soluzione di problemi di trasporto ottimo, sia per il caso L1, sia per i problemi di trasporto congestionato e ramificato. Da un punto di visto teorico, siamo riusciti a provare che il modello è ben posto solo assumendo determinate ipotesi di regolarità del coefficiente di diffusione e delle densità che descrivono la configurazione iniziale e finale delle masse trasportate. Nonostante ciò, numerosi risultati numerici mostrano come la soluzione approssimata del nostro modello converga a soluzioni stazionarie che ben si confrontano con la soluzione dei sopracitati problemi di trasporto ottimo. Riusciamo inoltre ad ottenere soluzioni numeriche che assomigliano fortemente alle strutture singolari del trasporto ramificato, dando ulteriore supporto alle nostre congetture. Nonostante alcune difficoltà numeriche, essenzialmente legate al malcondizionamenteo di sistemi lineari, lo schema numerico utilizzato per la discretizzazione del nostro modello, la cui implementazione risulta relativamente semplice, si è rivelato estremamente efficiente e robusto, sia da punto di visto delle convergenze numeriche, sia dal punto di vista dell'efficienza computazionale. Il nostro modello si presta inoltre a numerose applicazioni a problemi reali, come lo studio della morfologia dei fiumi e la modellizzazione dell'evoluzione delle radici delle piante, argomenti discussi nella parte finale della tesi. In ultimo, sulla base di prove numeriche, analizziamo come la presenza di loop in reti complesse, indice della loro robustezza, possa essere interpretata non come una proprietà di "ottimalità" della rete stessa, bensì come un riflesso della non stazionarietà delle forzanti.