Functions of bounded variation in Carnot-Carathéodory spaces

Analizziamo alcune proprietà di funzioni a variazione limitata in spazi di Carnot-Carathéodory. Nel Capitolo 2 dimostriamo che esse sono approssimativamente differenziabili quasi ovunque, esaminiamo il loro insieme di discontinuità approssimata e la decomposizione della loro derivata distribuzionale. Assumendo un'ipotesi addizionale sullo spazio, che chiamiamo proprietà R, mostriamo che quasi tutti i punti di discontinuità approssimata sono di salto e studiamo una formula per la parte di salto della derivata. Nel Capitolo 3 dimostriamo un teorema di rango uno à la G. Alberti per la derivata distribuzionale di funzioni vettoriali a variazione limitata in una classe di gruppi di Carnot che contiene tutti i gruppi di Heisenberg H^n con n ≥ 2. Uno strumento chiave nella dimostrazione è costituito da alcune proprietà che legano le derivate orizzontali di una funzione a variazione limitata con il suo sottografico. Nel Capitolo 4 dimostriamo un risultato di compattezza per succesioni (u_j) equi-limitate in spazi metrici (X, d_j) quando lo spazio X è fissato ma la metrica può variare con j. Mostriamo inoltre un'applicazione agli spazi di Carnot-Carathéodory. I risultati del Capitolo 4 sono fondamentali per la dimostrazione di alcuni fatti contenuti nel Capitolo 2.