On mass distribution and concentration phenomena for linear elliptic partial differential operators

In questa tesi studiamo la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico da perturbazioni della densità di massa su aperti dello spazio euclideo N-dimensionale. In particolare, proviamo risultati di dipendenza continua e analitica degli autovalori di operatori poliarmonici e li applichiamo ad alcuni problemi di ottimizzazione. Per provare i risultati di analiticità, adoperiamo una tecnica generale sviluppata da P.D. Lamberti e M. Lanza de Cristoforis, ottenendo formule per i differenziali di Frechet degli autovalori che ci permettono di caratterizzare le densità critiche sotto il vincolo di massa fissata. Inoltre, enunciamo un `principio di massimo' per la classe di problemi di ottimizzazione considerata. In seguito, prendiamo in esame una famiglia particolare di densità di massa, ovvero densità che si concentrano al bordo degli aperti dove i problemi differenziali sono definiti. In questo caso, studiamo il comportamento asintotico degli autovalori e delle autofunzioni dei problemi di Neumann per l'operatore di Laplace e l'operatore biarmonico quando la massa si concentra al bordo. Proviamo in entrambi i casi, adattando una tecnica generale sviluppata da J.M. Arrieta, che gli autovalori e le autofunzioni del problema di Neumann convergono agli autovalori e alle autofunzioni di appropriati problemi limite di tipo Steklov. In particolare, il problema di tipo Steklov per l'operatore biarmonico così formulato viene introdotto per la prima volta in questa tesi, dove ne vengono poi studiate alcune proprietà. Nel caso dell'operatore di Laplace, proviamo la validità di un'espansione asintotica degli autovalori e delle autofunzioni del problema di Neumann fino al primo ordine ed otteniamo formule esplicite per i primi termini delle espansioni. Per ottenere questi risultati adattiamo al nostro problema delle tecniche di analisi asintotica utilizzate da M.E. Perez e S.A. Nazarov per lo studio di sistemi vibranti con masse concentrate in punti o lungo certe curve. Per quanto riguarda il problema di Steklov per l'operatore biarmonico, consideriamo anche il problema della dipendenza degli autovalori dal dominio. Utilizzando sempre la tecnica generale sviluppata da P.D. Lamberti e M. Lanza de Cristoforis, proviamo che le palle sono domini critici per tutti gli autovalori. Inoltre, adattando l'argomento di F. Brock e R.Weinstock per il problema di Steklov per l'operatore di Laplace, riusciamo a mostrare che la palla massimizza il primo autovalore positivo del problema di Steklov per l'operatore biarmonico tra tutti gli aperti limitati di misura fissata. Proviamo infine una versione quantitativa di questa disuguaglianza isoperimetrica, mostrando poi che l'esponente che compare nella disuguaglianza è ottimale.