Investigation of new conditions for steepness from a former result by Nekhoroshev

In questa tesi viene presentata la costruzione di nuove condizioni sufficienti per la verifica di una proprietà delle funzioni denominata steepness. Tale proprietà è un’ipotesi fondamentale per l’applicazione del teorema di Nekhoroshev ad un sistema Hamiltoniano quasi integrabile, e la sua formulazione viene fornita da Nekhoroshev in maniera implicita. Per questo motivo è necessario avere a disposizione delle condizioni sufficienti per la verifica della stepness. Nekhoroshev formulò negli anni settanta il suo celebre teorema, il quale garantisce sotto opportune ipotesi una forte stabilità per quei sistemi dinamici che non sono integrabili, ma possono scriversi come una piccola perturbazione di un sistema integrabile. Il teorema di Nekhoroshev costituisce un risultato fondamentale nell’ambito della Teoria delle Perturbazioni, in particolar modo per le sue importanti applicazioni nella meccanica celeste. Per la costruzione delle nuove condizioni sufficienti per la steepness viene utilizzato un risultato dimostrato da Nekhoroshev. Le nuove condizioni sono più deboli di quelle conosciute fino ad ora, e di conseguenza permettono di individuare una classe più ampia di funzioni steep. In particolare, le nuove condizioni riguardano funzioni di due, tre e quattro variabili rispettivamente. Nell’ultimo capitolo di questa tesi viene costruito un algoritmo generale per la verifica della steepness di funzioni di tre o quattro variabili. Inoltre, allo scopo di fornire qualche esempio concreto di applicazione delle nuove condizioni, tale algoritmo viene applicato a due sistemi fisici: l’Hamiltoniana del problema dei tre corpi ristretto circolare, e l’Hamiltoniana di una catena di quattro oscillatori armonici, con l’energia potenziale del problema di Fermi-Pasta-Ulam. In entrambi i casi le nuove condizioni sufficienti permettono di dimostrare numericamente la steepness.