Factorizations of invertible matrices into products of elementary matrices and of singular matrices into products of idempotent matrices

In questa tesi si considerano due problemi classici, originati rispettivamente da un lavoro di P. Cohn del 1966 e da uno di J.A. Erdos del 1967, inerenti la fattorizzazione di matrici quadrate a coefficienti in un arbitrario dominio di integrità: caratterizzare i domini di integrità R che soddisfano la proprietà (GEn), ogni matrice invertibile n x n a valori in R è prodotto di matrici elementari; e quelli che soddisfano la proprietà (IDn), ogni matrice singolare n x n a valori in R è prodotto di matrici idempotenti. Vi è una stretta correlazione tra le proprietà (GEn) e (IDn). Un importante risultato di Ruitenburg (1993) mostra che esse sono equivalenti nei domini di Bézout (cioè domini integrali in cui ogni ideale finitamente generato è principale). Inoltre, se R è un dominio di Bézout, allora R soddisfa (GEn) per ogni n≥2 se e solo se vale la (GE2), se e solo se vale la (ID2), se e solo se verifica la (IDn) per ogni n≥2. In questo caso è quindi sufficiente considerare le matrici di dimensione 2. La trattazione si sviluppa attorno allo studio di due congetture, tanto naturali quanto difficili da dimostrare in generale. La prima, proposta da Salce e Zanardo (2014) e ispirata da importanti risultati sui campi di numeri algebrici, è la seguente: "un dominio a ideali principali R soddisfa la proprieta (GE2) se e solo se è Euclideo". A supporto di tale congettura, nella tesi viene dimostrata la sua validità in due importanti classi di PID non Euclidei: (i) gli anelli delle coordinate di speciali curve algebriche non singolari definite su un campo perfetto k, tra cui l'anello delle coordinate delle coniche prive di punti razionali su k e quello delle curve ellittiche aventi il punto all'infinito come unico punto razionale; (ii) i PID non Euclidei costruiti da D.D. Anderson in un lavoro del 1988. I casi (i) e (ii) richiedono differenti dimostrazioni, basate su delicati lemmi tecnici. Da tali risultati si evince che la congettura sembra essere verificata da tutti i PID non Euclidei apparsi in letteratura. La seconda congettura studiata nella tesi è legata alla fattorizzazione di matrici singolari in idempotenti: "un dominio R avente la proprietà (ID2) deve essere necessariamente un dominio di Bézout". I domini a fattorizzazione unica, quelli projective-free, e i domini PRINC, introdotti da Salce e Zanardo nel 2014, soddisfano la congettura. Nella tesi si è trovato un esempio di dominio PRINC che non è né UFD né projective-free. Si è inoltre provato che se un dominio R soddisfa la proprietà (ID2), allora R è un dominio di Prüfer (i.e. gli ideali finitamente generati sono invertibili); la seconda congettura può essere quindi studiata limitandosi alla classe dei domini di Prüfer. Si è dimostrato che se un qualunque dominino di integrità R verifica la proprietà (ID2), allora verifica anche la (GE2). Utilizzando tale risultato e applicando opportunamente differenti risultati di Cohn (1966), a sostegno della congettura si è trovata una classe di anelli coordinati di curve non singolari che sono domini di Dedekind non PID che non soddisfano la proprietà (ID2); si è inoltre provato che neanche l'anello Int(Z) dei polinomi a valori interi verifica tale proprietà.