On the spectral stability of polyharmonic operators on singularly perturbed domains

In questa tesi si studia la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali ellittici di ordine superiore da perturbazioni singolari del dominio, con attenzione per gli operatori poliarmonici e per condizioni al bordo di tipo intermedio e Neumann. Si identificano opportune condizioni geometriche sul dominio iniziale, sui domini perturbati e sulla perturbazione al fine di assicurare la stabilità spettrale. Si caratterizzano i problemi differenziali limite, al variare dei parametri che regolano la deformazione del dominio iniziale. Si dimostra che, assumendo opportune ipotesi, gli autovalori e le proiezioni sugli autospazi associati al problema differenziale nel dominio perturbato convergono ai rispettivi autovalori e proiezioni associati al problema limite nel dominio iniziale. Inoltre si dimostra che i risolventi convergono compattamente al risolvente associato al problema limite. In particolare, si analizza dapprima la convergenza spettrale di una famiglia di operatori autoaggiunti, ellittici, di ordine superiore, con condizioni al bordo di tipo intermedio, su domini perturbati definiti localmente dal sottografico di date funzioni. Si dimostra un teorema di stabilità spettrale assumendo che la convergenza delle funzioni che rappresentano localmente la frontiera convergano in modo sufficientemente regolare. Si utilizza poi tale risultato per studiare il comportamento spettrale di operatori poliarmonici con condizioni al bordo di tipo intermedio quando la frontiera del dominio è soggetta ad una oscillazione periodica e singolare, adattando delle tecniche utilizzate da J.M. Arrieta e P.D. Lamberti nel caso dell'operatore biarmonico. Si dimostra che il problema limite dipende dal rapporto tra l'ampiezza dell'oscillazione e il periodo di oscillazione. Infatti esiste un valore limite per questo rapporto al di sopra del quale si ha stabilità spettrale, cioè gli autovalori e le proiezioni sugli autospazi associati alla famiglia di domini perturbati convergono ai corrispondenti autovalori e proiezioni associati allo stesso operatore differenziale nel dominio limite; al di sotto di tale valore critico invece l'operatore differenziale limite è differente, in quanto assume condizioni al bordo diverse sulla frontiera del dominio limite. Infine se il rapporto assume esattamente il valore critico, appare un `termine strano' in una delle condizioni al bordo associate al problema limite, che è stato caratterizzato in funzione della soluzione di un dato problema al bordo ausiliario. In questo caso limite si sfruttano tecniche dimostrative tipiche dell'omogeneizzazione periodica, come il metodo di `unfolding' e le decomposizioni micro-macroscopiche delle funzioni di Sobolev, presenti, ad esempio, in alcuni articoli di J. Casado-Diaz e collaboratori. Nel piano euclideo si considerano inoltre l'operatore biarmonico e l'operatore associato al sistema di Reissner-Mindlin, con condizioni al bordo di tipo Neumann, su un dominio `a bilanciere', che consiste di due domini regolari, limitati e disgiunti, collegati attraverso un canale sottile. Si analizza il comportamento limite dello spettro degli operatori e si caratterizza il limite degli autovalori e delle proiezioni sugli autospazi quando la larghezza del canale diminuisce fino ad annullarsi, adattando tecniche introdotte da J.M. Arrieta e collaboratori per l'operatore di Laplace con condizioni al bordo di tipo Neumann. Nelle applicazioni alla teoria dell'elasticità lineare, gli operatori in considerazione sono collegati alla deformazione di una piastra elastica, di materiale omogeneo e non vincolata, dovuta alla degenerazione di una delle sue dimensioni. In contrasto con il caso dell'operatore di Laplace, l'equazione limite risulta distorta da un coefficiente strano, che dipende dal coefficiente di Poisson della piastra modellizzata.