Regularizing properties of the double layer heat potential and shape analysis of a periodic problem

Questa Tesi è dedicata allo studio di alcuni operatori integrali della teoria del potenziale parabolica rilevanti al fine di analizzare problemi al contorno per l'equazione del calore soggetti a perturbazioni singolari del dominio con un approccio funzionale analitico già noto per i problemi ellittici, e all'applicazione di metodi di teoria del potenziale allo studio di problemi di perturbazione di tipo ellittico. La Tesi è divisa in due parti indipendenti. Nella prima parte (Capitoli 1-3) dimostriamo nuovi risultati di teoria del potenziale parabolica e, in particolare, studiamo le proprietà di alcuni operatori integrali associati ai potenziali di strato calorici, mentre nella seconda parte (Capitolo 4) investighiamo il comportamento di un problema al contorno ellittico rispetto a perturbazioni del dominio, utilizzando metodi di teoria del potenziale. La Tesi è organizzata come segue. Nel Capitolo 1 introduciamo uno spazio normato di nuclei debolmente singolari che dipendono dalla variabile temporale, e proviamo alcuni risultati di continuità per operatori integrali parabolici rispetto a variazioni sia del nucleo nella classe di cui sopra, sia della funzione densità. Nel Capitolo 2 proviamo una formula esplicita per le derivate tangenziali del potenziale di doppio strato calorico, e proviamo delle proprietà di regolarizzazione per l'operatore integrale associato al potenziale di doppio strato calorico. Nel Capitolo 3 consideriamo i potenziali di strato calorici periodici nello spazio, e risolviamo alcuni problemi al contorno periodici per l'equazione del calore. Infine, il Capitolo 4 è dedicato allo studio del comportamento della permeabilità longitudinale di un materiale periodicamente perforato rispetto a perturbazioni della struttura di periodicità e della forma dei fori. Alla fine della Tesi abbiamo incluso delle Appendici con alcuni risultati utilizzati.