Numerical Modelling of Alluvial Rivers by Shock Capturing Methods

La modellazione dell’idrodinamica e delle variazioni orfologiche in canali naturali `e generalmente effettuata risolvendo numericamente le equazioni delle onde lunghe in acque basse, che regolano il moto della fase fluida, assieme all’equazione di Exner, che descrive l’evoluzione del fondo. L’argomento della presente tesi consiste nello sviluppo di un schema ai volumi finiti di tipo ”centrato” per la soluzione accoppiata di tale sistema di equazioni. Un nuovo schema, denominato PRICE-C, `e qui introdotto: esso risolve le equazioni in forma conconservativa, ma ha l’importante propriet`a di degenerare in uno schema conservativo se il sottostante sistema di equazioni ammette una forma conservativa. Lo schema `e applicato alle equazioni delle onde lunghe in acque basse sia nel caso di fondo fisso che di fondo mobile, dapprima in un ambito unidimensionale e successivamente in quello bidimensionale. L’estensione non `e immediata nel caso in cui il reticolo di calcolo sia non-strutturato, dal momento che le equazioni differenziali devono essere mediate su opportuni volumi di controllo. Lo schema `e poi esteso ad alti ordini di accuratezza nello spazio e nel tempo attraverso le procedure ADER-WENO e MUSCL rispettivamente per il caso unidimensionale e bidimensionale. Inoltre si dimostra come lo schema proposto verifichi la ”well-balanced property”, che consiste nella capacit`a di raggiungere soluzioni stazionarie, anche in presenza di discontinuit`a della superficie libera e del fondo. Condizioni di corrente lenta e rapida, come pure condizioni di tipo transcritico vengono correttamente risolte. Inoltre lo schema in grado di riprodurre le celerit`a di propagazione di discontinuit`a della superficie e fronti di sedimenti al fondo, cos`? come la celerit`a di propagazione di piccoli disturbi del fondo. Caratteristica principale dello schema `e la sua semplicit`a: `e basato su un semplice approccio di tipo centrato, cio`e non necessita la conoscenza degli autovalori della matrice del sistema. Questa `e un’importante caratteristica dal momento che non sempre autovalori e autovettori sono calcolabili analiticamente, in particolare nel caso di complesse formule di chiusura per il trasporto al fondo. Quindi questo schema pu`o rivelarsi utile per l’ingegnere che spesso necessita di un semplice strumento numerico che possa essere applicato ad un sistema di equazioni differenziali di tipo iperbolico senza dover entrare nel dettaglio delle propriet`a atematiche del sistema stesso. Data la sua generalit`a, infatti, lo schema pu`o essere applicato ad ogni tipo di sistema iperbolico contenente termini non-conservativi.