Partial exchangeability and change detection for hidden Markov models

La tesi affronta lo studio dei modelli di Markov nascosti. Essi sono oggi giorno molto popolari, in quanto presentano una struttura più versatile dei processi indipendenti ed identicamente distribuiti o delle catene di Markov, ma sono tuttavia trattabili. Risulta quindi interessante cercare proprietà dei processi i.i.d. che restano valide per modelli di Markov nascosti, ed è questo l'oggetto della tesi. Nella prima parte trattiamo un problema probabilistico. In particolare ci concentriamo sui processi scambiabili e parzialmente scambiabili, trovando delle condizioni che li rendono realizzabili come processi di Markov nascosti. Per una classe particolare di processi scambiabili binari troviamo anche un algoritmo di realizzazione. Nella seconda parte affrontiamo il problema del rilevamento di un cambiamento nei parametri caratterizzanti la dinamica di un modello di Markov nascosto. Adattiamo ai modelli di Markov nascosti un algoritmo di tipo cumulative sum (CUSUM), introdotto inizialmente per osservazioni i.i.d. Questo ci porta a studiare la statistica CUSUM con processo di entrata L-mixing. Troviamo quindi una proprietà di perdita di memoria della statistica CUSUM, quando non ci sono cambiamenti nella triettoria, dapprima nel caso più elemenatare di processo di entrata i.i.d. (con media negativa e momenti esponenziali di qualche ordine finiti), e poi per processo di entrata L-mixing e limitato, sotto opportune ipotesi tecniche.