Some Results in Nonlinear PDEs: Large Deviations Problems, Nonlocal Operators, and Stability for Some Isoperimetric Problems

Questa tesi si occupa di vari problemi che sorgono nello studio di equazioni alle derivate parziali ellittiche e paraboliche. La tesi è divisa in tre parti. Nella prima parte studiamo il comportamento per tempi brevi di sistemi dinamici a volatilità stocastica che evolve in una scala temporale più veloce.Ci occupiamo di perturbazioni singolari di sistemi a scala temporale multipla. Il nostro primo obiettivo è lo studio del comportamento asintotico di un funzionale logaritmico del processo stocastico, attraverso i metodi della teoria dell' omogeneizzazione e delle perturbazioni singolari per equazioni alle derivate parziali completamente non lineari. Individuiamo tre regimi a seconda della velocità con cui la volatilità oscilla rispetto alla lunghezza dell'orizzonte temporale. Inoltre forniamo alcune applicazioni finanziarie, in particolare proviamo un principio di grandi deviazioni in ogni regime e lo applichiamo per derivare una stima asintotica dei prezzi di opzioni vicino alla maturità e una formula asintotica per la volatilità di Black-Scholes implicita. Nella seconda parte studiamo la buona definizione di problemi al contorno di tipo Neumann, in domini generali (sufficientemente regolari), per equazioni tipo Hamilton-Jacobi con termini non locali che derivano da processi discontinui a salti. Consideriamo un termine diffusivo non locale di tipo censored, di ordine strettamente minore di 1, e un' Hamiltoniana, sia in forma coerciva sia di tipo Bellman non necessariamente coerciva, la cui crescita nel gradiente la rende il termine principale nell'equazione. Dimostriamo un principio di confronto per sotto e sopra soluzioni limitate (in senso di viscosità) con condizioni al contorno generalizzate, e di conseguenza tramite il metodo di Perron otteniamo l'esistenza e l'unicità di soluzioni continue. Diamo alcune applicazioni nel caso evolutivo, dimostrando la convergenza per tempi grandi della soluzione del problema evolutivo alla soluzione del problema stazionario associato, supponendo opportune ipotesi sui dati. Nell'ultima parte presentiamo alcuni risultati di stabilità per una classe di diseguaglianze integrali, le disuguaglianze Borrell-Brascamp-Lieb e rafforziamo, in due modi diversi, queste disuguaglianze nella classe di funzioni a potenza concava. Come applicazione di questo risultato, presentiamo analoghi risultati quantitativi per alcuni tipi di disuguaglianze isoperimetriche soddisfatte da un'ampia classe di funzionali variazionali che possono essere scritti in termini della soluzione di un opportuno problema al contorno ellittico. Come modello giocattolo, consideriamo la rigidità torsionale e dimostriamo risultati quantitativi per la sua disuguaglianza Brunn-Minkowski e per la sua conseguente disuguaglianza isoperimetrica di tipo Urysohn.